寻求非Dedekind整环的Noetherian UFD实例及整环关系求证

首先直接给结论：不是所有Noetherian UFD都是Dedekind整环，更谈不上必然是PID。你找不到反例可能是没考虑多项式环这类典型例子，最经典的反例就是ℤ[x]（整数系数多项式环），我们来一步步拆解：

先回顾关键定义 #

• Noetherian整环：满足理想升链条件，或者等价地，每个理想都是有限生成的。
• UFD（唯一分解整环）：每个非零非单位元素都能唯一（在相伴意义下）分解为不可约元的乘积。
• Dedekind整环：需要同时满足三个条件：Noetherian、整闭、每个非零素理想都是极大理想。
• PID（主理想整环）：每个理想都是主理想，PID必然是Dedekind整环，也必然是UFD，但反过来不成立。

为什么ℤ[x]是反例？ #

我们逐一验证：

• ℤ[x]是Noetherian整环：根据Hilbert基定理，若R是Noetherian整环，则R[x]也是Noetherian。ℤ是Noetherian的（因为ℤ的理想都是主理想，自然有限生成），所以ℤ[x]满足Noetherian条件。
• ℤ[x]是UFD：UFD上的多项式环仍然是UFD，这是一个标准结论。ℤ本身是UFD，所以ℤ[x]也是UFD。
• ℤ[x]不是Dedekind整环：Dedekind整环要求每个非零素理想都是极大理想，但ℤ[x]中存在非极大的素理想——比如理想(x)（由所有常数项为0的多项式组成）。它的商环ℤ[x]/(x) ≅ ℤ，而ℤ不是域，说明(x)不是极大理想（极大理想的商环必须是域）。因此ℤ[x]不满足Dedekind整环的条件。
• ℤ[x]也不是PID：比如理想(2, x)（由所有常数项为偶数的多项式组成）就不是主理想——你找不到一个多项式f(x) ∈ ℤ[x]使得(2, x) = (f(x))，因为f(x)需要整除2和x，只能是±1，但±1生成的是整个环，显然不等于(2, x)。

补充：Dedekind UFD与PID的关系 #

如果一个整环既是Dedekind整环又是UFD，那它确实是PID。原因是：Dedekind整环中每个非零理想都能分解为素理想的乘积，而UFD中每个素理想都包含一个素元（不可约元），结合Dedekind整环中素理想都是极大的，可知每个素理想都是主理想（由那个素元生成），进而所有理想都是主理想，也就是PID。但这个推论反过来不成立——Noetherian UFD不需要满足“每个非零素理想极大”这个条件，所以不一定是Dedekind整环。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ponce