非负整数约束下方程a₁+…+aₙ=2011的n最值求解咨询

给定非负整数 (a_1, a_2, ..., a_n)（(n) 是不小于3的正整数），满足以下两个核心条件：

• 序列总和：(a_1 + a_2 + ... + a_n = 2011)
• 循环约束：(a_1 \leq |a_2 - a_3|)，(a_2 \leq |a_3 - a_4|)，...，(a_n \leq |a_1 - a_2|)

这个问题和同类问题的核心区别在于，这里允许(a_n)取0。我自己整理了一个分情况讨论的思路，咱们一步步来拆解：

情况1：(a_3 \leq a_2) #

这时候绝对值可以直接去掉符号，也就是 (|a_2 - a_3| = a_2 - a_3)。把这个代入第一个约束条件，就能得到：
a₁ ≤ a₂ - a₃
整理一下这个不等式，还能推导出 (a_2 \geq a_1 + a_3)。
接下来就可以顺着这个不等式链，结合后面的循环约束（比如(a_2 \leq |a_3 - a_4|)）继续推导，进一步缩小变量的取值范围。

情况2：(a_2 \leq a_3) #

这种情况下，绝对值展开后是 (|a_2 - a_3| = a_3 - a_2)，代入第一个约束条件可得：
a₁ ≤ a₃ - a₂
同样整理后得到 (a_3 \geq a_1 + a_2)。
后续同样可以结合后续的循环约束，沿着序列往下推导变量间的关系。

从这两种情况出发，再结合总和为2011的条件，就能逐步推导出(n)的最小值和最大值——比如求最小值时，可以尝试构造尽可能少的非零项满足约束；求最大值时，则可以考虑构造重复的小循环序列，让更多项取0或极小值来满足总和要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Problemsolving