Hungerford代数(GTM73)习题I.5.20无限群情形求解问询

嘿，这个问题我当初学群论的时候也卡过！别担心，我们可以绕开“必须依赖有限群第二同构定理”的固定思路，用指数的乘法性质和同态的阶数关系来解决，具体提示如下：

• 第一步，先构造子群$NH$：因为$N\lhd G$，所以$NH = {nh \mid n\in N, h\in H}$是$G$的子群（正规子群和任意子群的乘积仍是子群，这个结论对无限群也成立）。
• 第二步，利用指数的乘法公式：对于群$G$的子链$H \leq NH \leq G$，只要$[G:H]$有限，就有
  $$[G:H] = [G:NH] \times [NH:H]$$
  这个公式不依赖群的有限性，只要涉及的指数都是有限的就成立。
• 第三步，分析$[NH:H]$的整除性：考虑映射$\varphi: N \to NH/H$，定义为$\varphi(n) = nH$。这是一个群同态，而且是满同态（因为$NH/H$里的元素都是$nhH = nH$，$n\in N$）。根据第一同构定理，$N/\ker\varphi \cong NH/H$，其中$\ker\varphi = N\cap H$。
  因为$|N|$有限，所以$|N/(N\cap H)|$整除$|N|$，也就是说$[NH:H] = |NH/H| = |N/(N\cap H)|$是$|N|$的因子。
• 第四步，结合互素条件：题目说$[G:H]$和$|N|$互素，而$[NH:H]$是$[G:H]$的因子（来自指数乘法公式），同时又是$|N|$的因子，那么$[NH:H]$必须等于1（因为互素的两个数的公因子只有1）。
• 最后，$[NH:H]=1$意味着$NH=H$，而$N\subseteq NH$，所以$N\subseteq H$，即$N < H$。

补充一句：你觉得第二同构定理不适用，可能是误以为它只针对有限群，但其实只要$NH$是子群（这里因为$N$正规，所以满足条件），第二同构定理的同构关系$NH/H \cong N/(N\cap H)$对无限群也成立~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yuxiao Xie