条件独立等价命题疑问：两个条件概率式的双向蕴含推导

我来帮你理清楚这两个条件独立命题的双向推导逻辑，其实不用绕到复杂的贝叶斯变形，用条件概率的基本定义就能轻松搞定～

先明确前提：我们默认所有涉及的条件概率分母都不为0（也就是$\text{Pr}(Y) > 0$、$\text{Pr}(B\cap{Y}) > 0$），这是条件概率定义的必要要求。

从命题(1)推导命题(2) #

首先回忆条件概率的核心公式：
$$\text{Pr}(A|C) = \frac{\text{Pr}(A\cap{C})}{\text{Pr}(C)}$$

我们把$\text{Pr}(R|B\cap{Y})$用这个公式展开：
$$\text{Pr}(R|B\cap{Y}) = \frac{\text{Pr}(R\cap{B}\cap{Y})}{\text{Pr}(B\cap{Y})}$$

再看分子部分，根据条件概率定义，$\text{Pr}(R\cap{B}|Y) = \frac{\text{Pr}(R\cap{B}\cap{Y})}{\text{Pr}(Y)}$，所以可以变形得到：
$$\text{Pr}(R\cap{B}\cap{Y}) = \text{Pr}(R\cap{B}|Y) \times \text{Pr}(Y)$$

现在把命题(1)的等式$\text{Pr}(R\cap{B}|Y) = \text{Pr}(R|Y)\text{Pr}(B|Y)$代入上式，分子就变成：
$$\text{Pr}(R|Y)\text{Pr}(B|Y) \times \text{Pr}(Y)$$

再看分母，同样用条件概率定义：$\text{Pr}(B\cap{Y}) = \text{Pr}(B|Y) \times \text{Pr}(Y)$

把分子分母代回原式，$\text{Pr}(Y)$和$\text{Pr}(B|Y)$都不为0，可以直接约掉，最终得到：
$$\text{Pr}(R|B\cap{Y}) = \text{Pr}(R|Y)$$
也就是命题(2)。

从命题(2)推导命题(1) #

还是从条件概率定义出发，把命题(2)左边展开：
$$\frac{\text{Pr}(R\cap{B}\cap{Y})}{\text{Pr}(B\cap{Y})} = \text{Pr}(R|Y)$$

把分母移到等式右边：
$$\text{Pr}(R\cap{B}\cap{Y}) = \text{Pr}(R|Y) \times \text{Pr}(B\cap{Y})$$

同样，用条件概率定义把$\text{Pr}(B\cap{Y})$替换成$\text{Pr}(B|Y) \times \text{Pr}(Y)$，右边就变成：
$$\text{Pr}(R|Y) \times \text{Pr}(B|Y) \times \text{Pr}(Y)$$

再看等式左边，$\text{Pr}(R\cap{B}\cap{Y}) = \text{Pr}(R\cap{B}|Y) \times \text{Pr}(Y)$，把这个代入等式两边，然后同时除以$\text{Pr}(Y)$（不为0），就得到：
$$\text{Pr}(R\cap{B}|Y) = \text{Pr}(R|Y)\text{Pr}(B|Y)$$
也就是命题(1)。

这样就完成了两个命题的双向推导啦，核心就是牢牢抓住条件概率的基本定义，不用过度复杂的变形～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Reb.Cabin