积分等价形式考题：给定[0,3]可积函数f，构造g与C满足积分等式

这道题本质是利用积分变量替换（线性变换）来实现不同区间上的积分等价转换，思路很直接，我们一步步来拆解：

核心思路：线性区间映射 #

我们需要把原积分的区间[0,3]通过线性变换映射到目标区间[a,b]，线性变换可逆且形式简单，完全满足题目对g仅依赖f、C仅依赖a,b的要求。

具体构造步骤 #

1. 确定线性变换关系
   设目标区间[a,b]中的变量为t，原区间[0,3]中的变量为x，我们构造一个线性函数，让x=0对应t=a，x=3对应t=b：

   t = a + (b - a)/3 * x
   

   解出x关于t的表达式：

   x = 3(t - a)/(b - a)
   

   对t求导得到微分关系：

   dx = 3/(b - a) dt
   

2. 替换原积分
   将原积分$\int_0^3 f(x)dx$中的x和dx用上述表达式替换，积分上下限也从x=0→t=a，x=3→t=b：

   ∫₀³f(x)dx = ∫ₐᵇf( 3(t - a)/(b - a) ) * (3/(b - a)) dt
   

3. 定义g和C

   • 把积分变量t换成x（只是符号替换，不影响积分结果），定义仅依赖f的函数g：

     g(x) = f( 3(x - a)/(b - a) )
     

     这里g是f和一个线性函数的复合，完全由f决定，a,b只是这个线性变换的参数，不影响g对f的依赖关系。
   • 定义仅依赖a,b的常数C：

     C = 3/(b - a)
     

     显然C只由a和b决定，和f无关。

验证等式成立 #

把g和C代入右边的表达式：

C∫ₐᵇg(x)dx = (3/(b - a)) ∫ₐᵇf( 3(x - a)/(b - a) ) dx

这和我们变量替换后的原积分完全一致，所以等式$\int_0^3 f(x)dx = C\int_a^b g(x)dx$成立。

特殊情况说明 #

如果b=a，此时右边的积分$\int_a^b g(x)dx=0$，那么只有当原积分$\int_0^3 f(x)dx=0$时等式才能成立，这时候C可以取任意仅依赖a,b的常数（因为a=b，C就是一个固定值），但一般题目默认b≠a的情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user519338