随机序与剩余均值寿命序是否相互蕴含？附定义及文献依据

要搞清楚这个问题，我们先把两个序的核心定义再明确一下（针对非负随机变量X、Y，累积分布函数分别为F、G）：

• 随机序（Stochastic Order, ≤ₛₜ）：X ≤ₛₜ Y 等价于对所有x≥0，X的生存函数不超过Y的生存函数，也就是 $1-F(x) ≤ 1-G(x)$。直白说就是，X在任何时刻x之前发生的概率都比Y高，X“整体更早结束”。
• 剩余均值寿命序（Mean Residual Life Order, ≤ₘᵣₗ）：X ≤ₘᵣₗ Y 等价于对所有x≥0（分母不为0时），X在x时刻存活的条件下，剩余期望寿命不超过Y的，也就是：
  $$\frac{1}{1-F(x)}\int_{x}^{+\infty}(1-F(u))du ≤ \frac{1}{1-G(x)}\int_{x}^{+\infty}(1-G(u))du$$

这两个序描述的是随机变量的不同属性：一个关注整体发生概率的排序，一个关注存活后的剩余寿命期望的排序，所以自然互不蕴含，下面用两个具体例子来直观说明：

一、随机序（≤ₛₜ）不蕴含剩余均值寿命序（≤ₘᵣₗ） #

我们构造两个随机变量：

• X的生存函数：
  $$1-F(x) = \begin{cases}
  1 & x < 0 \
  e^{-x} & 0 ≤x <1 \
  0.5e^{-x} & x ≥1
  \end{cases}$$
• Y的生存函数：
  $$1-G(x) = \begin{cases}
  1 & x <0 \
  0.5 + 0.5e^{-x} & 0 ≤x <1 \
  0.5e^{-x} & x ≥1
  \end{cases}$$

验证随机序成立： #

• 当x<0时，两者生存函数都是1，相等；
• 当0≤x<1时，$1-F(x)=e^{{-x}$，$1-G(x)=0.5(1+e}{-x})$，因为$e^{-x} ≤1$，所以$e^{-x} ≤0.5(1+e^{-x})$恒成立；
• 当x≥1时，两者生存函数完全相等。
  因此X ≤ₛₜ Y成立。

验证剩余均值寿命序不成立： #

计算x=0.5时的剩余均值寿命：

• X的剩余均值寿命：$MRL_X(0.5) = 1 - 0.5e^{0.5-1} ≈ 0.6968$
• Y的剩余均值寿命：$MRL_Y(0.5) = \frac{1-0.5 + e^{-0.5}}{1+e{-0.5}} ≈ 0.6888$

显然此时$MRL_X(0.5) > MRL_Y(0.5)$，不满足剩余均值寿命序的要求，说明满足随机序的变量，不一定满足剩余均值寿命序。

二、剩余均值寿命序（≤ₘᵣₗ）不蕴含随机序（≤ₛₜ） #

这个例子更直观：

• X是区间[1,3]上的均匀分布，生存函数为：
  $$1-F(x) = \begin{cases}
  1 & x < 1 \
  \frac{3-x}{2} & 1 ≤x <3 \
  0 & x ≥3
  \end{cases}$$
• Y是区间[0,4]上的均匀分布，生存函数为：
  $$1-G(x) = \begin{cases}
  1 - \frac{x}{4} & 0 ≤x <4 \
  0 & x ≥4
  \end{cases}$$

验证剩余均值寿命序成立： #

• 当x<1时，X的剩余均值寿命是$E[X] = 2$，Y的剩余均值寿命是$E[Y] = 2$，相等；
• 当1≤x<3时，X的剩余均值寿命是$\frac{3-x}{2}$，Y的是$\frac{4-x}{2}$，显然前者小于后者；
• 当3≤x<4时，X的剩余均值寿命为0，Y的为$\frac{4-x}{2} ≥0$，满足；
• x≥4时，两者剩余均值寿命都是0。
  因此X ≤ₘᵣₗ Y成立。

验证随机序不成立： #

取x=0.5（属于x<1的区间），X的生存函数$1-F(0.5)=1$，Y的生存函数$1-G(0.5)=1 - \frac{0.5}{4}=0.875$，此时$1-F(x) > 1-G(x)$，不满足随机序的要求，说明满足剩余均值寿命序的变量，不一定满足随机序。

总结一下：随机序关注的是随机变量在整个时间轴上的发生概率排序，而剩余均值寿命序只关注存活后的剩余寿命期望，两者描述的维度不同，因此互不蕴含。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jimmy R.