如何求解复数域下的方程$2z^2+(2+2i)z+5i=0$？

其实复数域下的二次方程求解和实数域本质是一样的，完全可以用我们熟悉的求根公式来解，唯一的区别是判别式可能是复数，需要计算它的平方根。下面一步步来算：

步骤1：确定标准形式的系数 #

原方程对应标准二次方程 $az^2 + bz + c = 0$，其中：

• $a = 2$
• $b = 2+2i$
• $c = 5i$

步骤2：计算判别式$D = b^2 - 4ac$ #

先展开$b^2$：

(2+2i)^2 = 2^2 + 2*2*2i + (2i)^2 = 4 + 8i + 4i² = 4+8i-4 = 8i

再计算$4ac$：

4ac = 4*2*5i = 40i

所以判别式：

D = 8i - 40i = -32i

步骤3：求复数判别式的平方根 #

设$\sqrt{D} = x + yi$（$x,y$为实数），则$(x+yi)^2 = -32i$，展开得：
$$x^2 - y^2 + 2xyi = 0 - 32i$$
对应实部和虚部相等，得到方程组：

• $x^2 - y^2 = 0$
• $2xy = -32$

由第一个方程得$x = ±y$：

• 若$x = y$，代入第二个方程得$2x^2 = -32$，无实数解，舍去；
• 若$x = -y$，代入第二个方程得$-2x^2 = -32$ → $x^2 = 16$，解得$x=4,y=-4$ 或 $x=-4,y=4$。

因此$\sqrt{D}$的两个值为$4-4i$和$-4+4i$。

步骤4：代入求根公式求解$z$ #

求根公式为：
$$z = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2a}$$

先计算$-b = -(2+2i) = -2-2i$，分两种情况计算：

情况1：取$\sqrt{D}=4-4i$ #

z = \frac{-2-2i + 4-4i}{2*2} = \frac{2-6i}{4} = \frac{1-3i}{2} = 0.5 - 1.5i

情况2：取$\sqrt{D}=-4+4i$ #

z = \frac{-2-2i -4+4i}{4} = \frac{-6+2i}{4} = \frac{-3+i}{2} = -1.5 + 0.5i

验证解的正确性 #

把$z=0.5-1.5i$代入原方程：

2*(0.5-1.5i)^2 + (2+2i)*(0.5-1.5i) +5i
= 2*(-2-1.5i) + (4-2i) +5i
= -4-3i+4-2i+5i = 0

完全符合方程，另一个解同理可验证正确。

所以该方程的两个复数解为：

• $z_1 = \frac{1-3i}{2}$
• $z_2 = \frac{-3+i}{2}$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者JJgof