求满足渐近线、截距条件的有理函数$f$的方程

别着急，咱们一步步来构造这个函数，其实有理函数的性质和分子分母的因式是直接挂钩的，很容易推导：

第一步：从垂直渐近线确定分母 #

垂直渐近线的位置就是分母等于0的点（且此时分子不为0），题目里给了$x=-4$和$x=-1$，那分母的因式肯定就是$(x+4)$和$(x+1)$，所以分母可以写成：
(x+4)(x+1)

第二步：从x-截距确定分子 #

x-截距是函数值为0的点，也就是分子等于0的位置，题目里的截距是$(1,0)$和$(5,0)$，那分子的因式就是$(x-1)$和$(x-5)$。不过这里要加个常数系数$a$——毕竟分子乘以非零常数不会改变零点和渐近线，这个常数最后用y截距来求，所以分子先写成：
a(x-1)(x-5)

现在咱们得到函数的初步样子：
$$f(x) = \frac{a(x-1)(x-5)}{(x+4)(x+1)}$$

第三步：用y-截距算出常数$a$ #

y-截距是$(0,7)$，意思就是当$x=0$时，$f(0)=7$，咱们把$x=0$代入上面的式子计算：
$$f(0) = \frac{a(0-1)(0-5)}{(0+4)(0+1)} = \frac{a\times(-1)\times(-5)}{4\times1} = \frac{5a}{4}$$

这个结果等于7，解方程就行：
$$\frac{5a}{4} = 7$$
算出来$a = \frac{28}{5}$

第四步：写出最终的函数 #

把$a$代回初步形式，就得到：
$$f(x) = \frac{\frac{28}{5}(x-1)(x-5)}{(x+4)(x+1)}$$

要是觉得分数看着别扭，也可以整理成不含分数系数的形式：
$$f(x) = \frac{28(x-1)(x-5)}{5(x+4)(x+1)}$$

最后咱们验证一下：

• 分母为0时$x=-4$和$x=-1$，完美对应垂直渐近线；
• 分子为0时$x=1$和$x=5$，和x-截距一致；
• 代入$x=0$，算出来是$\frac{28\times(-1)\times(-5)}{5\times4\times1} = \frac{140}{20}=7$，正好是y-截距，完全符合要求~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Big Papa