证明：生成集经线性变换后的像可张成变换的像空间

嘿，你找对方向了！这个证明的核心确实就是线性变换的线性性（这是线性变换定义里最关键的性质），咱们一步步把它拆解清楚：

先明确几个关键定义（避免混淆） #

• 生成集的定义：若$v_1,\dots,v_n$是$V$的生成集，意味着任意$v \in V$都可以表示为它们的线性组合：

  $v = a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_nv_n$，其中$a_1,a_2,\dots,a_n$是对应数域中的标量。

• 像空间$im(T)$的定义：$im(T) = { T(v) \mid v \in V }$，也就是所有能被$T$映射到的$W$中的元素。

正式证明步骤 #

1. 任取一个元素$w \in im(T)$，根据像空间的定义，必然存在某个$v \in V$，使得$w = T(v)$。
2. 因为$v_1,\dots,v_n$是$V$的生成集，所以这个$v$一定能写成生成集的线性组合：$v = a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_nv_n$。
3. 这里就用到线性变换的线性性了（线性变换的核心性质：$T(au + bv) = aT(u) + bT(v)$，对任意标量$a,b$和向量$u,v$成立）：

   T(v) = T(a_1v_1 + a_2v_2 + \dots + a_nv_n) = a_1T(v_1) + a_2T(v_2) + \dots + a_nT(v_n)
   

4. 结合第一步的$w = T(v)$，就能得到：$w = a_1T(v_1) + a_2T(v_2) + \dots + a_nT(v_n)$。这说明$w$是$T(v_1),\dots,T(v_n)$的线性组合。
5. 由于$w$是$im(T)$中任意选取的元素，这就意味着$im(T)$中的所有元素都能被$T(v_1),\dots,T(v_n)$线性表出——也就是$T(v_1),\dots,T(v_n)$张成$im(T)$。

额外小提示 #

其实你一开始的思路已经很接近了，就是差了把线性变换的线性性用进去这一步。线性性的作用就是把“向量的线性组合的变换”转化成“变换后的向量的线性组合”，刚好把$V$生成集的性质传递到了像空间里～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Justtryingtodomath