求证：Δⁿ到X_dis/X_prod的连续函数必为常值及j_*为同构

我来一步步帮你拆解这些问题，核心思路围绕连通性、紧性以及奇异同调的基本性质展开：

问题1：证明连续映射$f:\Delta^n\rightarrow X$必为常值函数（$X=\prod_{k=0}^\infty S^0$，乘积拓扑） #

首先明确几个关键前提：

• $\Delta^{n$是**n维单纯形**，作为欧氏空间$\mathbb{R}}{n+1}$的子空间，它是紧且连通的（有界闭集保证紧性，几何凸性保证连通性）。
• $X=\prod_{k=0}^\infty S^{0$，其中$S}0={-1,1}$是两点离散空间，$X$配备乘积拓扑。

方法1：利用连通性的核心性质 #

1. 连通空间在连续映射下的像必为连通集，这是拓扑学的基础定理。因为$f$连续，$\Delta^{n$连通，所以$f(\Delta}n)$是$X$中的连通子集。
2. 分析$X$的连通子集：取$X$中任意非单点集$A$，必存在两点$x=(x_k), y=(y_k)\in A$，使得某个坐标$k_0$满足$x_{k_0}\neq y_{k_0}$。
3. 考虑投影映射$\pi_{k_0}:X\rightarrow S^{0$，它是连续的（乘积拓扑的定义就是所有投影映射连续）。此时$\pi_{k_0}(A)$包含${-1,1}$，这是$S}0$中的非连通子集（离散空间中两点都是开集，构成分割）。
4. 这就产生矛盾：连通集的连续像不可能是非连通集。因此$A$只能是单点集，即$f$是常值函数。

方法2：用开集定义直接推导 #

假设$f$非常值，那么存在$a,b\in\Delta^n$使得$f(a)\neq f(b)$，即存在某个$k_0$，$\pi_{k_0}(f(a))\neq\pi_{k_0}(f(b))$。

• ${\pi_{k_0}(f(a))}$是$S^{0$中的开集，其原像$\pi_{k_0}}{-1}({\pi_{k_0}(f(a))})$是$X$中的基本开集（乘积拓扑的基元素）。
• 那么$f^{{-1}(\pi_{k_0}}{-1}({\pi_{k_0}(f(a))}))$是$\Delta^{n$中的开集，包含$a$但不包含$b$；同理，$f}{-1}(\pi_{k_0}^{-1}({\pi_{k_0}(f(b))}))$是包含$b$但不包含$a$的开集。
• 这两个开集不相交且覆盖了$\Delta^{n$，但$\Delta}n$是连通的，不能被两个非空不相交开集覆盖，矛盾。因此$f$必为常值。

问题2：关于$X_{dis}$与$X_{prod}$的两个证明 #

先明确符号：$X=\prod_{k=0}^\infty S^0$，$X_{dis}$是$X$配备离散拓扑，$X_{prod}$是$X$配备乘积拓扑，$j:X_{dis}\rightarrow X_{prod}$是恒等映射。

（1）从$\Delta^n$到$X_{dis}$或$X_{prod}$的连续映射必为常值函数 #

分两种情况讨论：

• 映射到$X_{prod}$：就是问题1的结论，核心逻辑一致——$\Delta^n$连通，$X_{prod}$中只有单点集是连通的，因此连续映射的像必为单点集。
• 映射到$X_{dis}$：$X_{dis}$是离散拓扑，意味着每个单点集都是开集。
  1. $\Delta^n$是紧空间，连续映射从紧空间到离散空间的像必为有限集（离散空间中的紧集只能是有限集）。
  2. 同时$\Delta^n$是连通的，其连续像必为连通集，而离散空间中的连通子集只能是单点集（任何两个不同点都能被不相交的开集分割）。
  3. 因此像只能是单点集，即映射必为常值。

用开集定义验证：假设$f$非常值，那么存在$x,y\in\Delta^n$，$f(x)\neq f(y)$。${f(x)}$是$X_{dis}$中的开集，故$f^{{-1}({f(x)})$是$\Delta}n$中的开集，包含$x$；$\Delta^n\setminus f^{{-1}({f(x)})$也是开集，包含$y$。这两个开集不相交且覆盖$\Delta}n$，与$\Delta^n$连通矛盾，所以$f$必为常值。

（2）证明$j_:H_(X_{dis})\rightarrow H_*(X_{prod})$是同构映射 #

我们先分别分析两个空间的奇异同调群：

• $X_{dis}$的同调群：离散空间的每个单点都是连通分支，因此：
  • 0维同调群$H_0(X_{dis})=\mathbb{Z}^{|X|}$（自由阿贝尔群，秩等于$X$中点的数量）；
  • 对于$q\geq1$，$H_q(X_{dis})=0$（离散空间中没有非平凡的高阶奇异链，所有高阶链都是边界链）。
• $X_{prod}$的同调群：由问题2(1)可知，任何$q\geq1$的奇异单形$\sigma:\Delta^q\rightarrow X_{prod}$都是常值映射。
  • 0维同调群$H_0(X_{prod})=\mathbb{Z}^{|X|}$：因为$X_{prod}$是完全不连通空间（每个连通分支都是单点），0维同调群的秩等于连通分支数，也就是$X$中点的数量；
  • 对于$q\geq1$，$H_q(X_{prod})=0$：每个$q$维奇异单形$\sigma$是常值映射到点$x$，其边界$\partial\sigma=\sum_{i=0}^q (-1)^i \sigma|{\Delta^{q_i}$，而每个$\sigma|_{\Delta}q_i}$也是常值到$x$，当$q\geq1$时$\sum{i=0}^q (-1)^i=0$，因此所有闭链都是边界链，同调群为0。

现在看诱导同态$j_*$：

• 0维同调群：$j$是恒等映射，它把$X_{dis}$中的每个点（连通分支）映射到$X_{prod}$中的同一个点，因此$j_*$在$H_0$上是恒等映射，将$\mathbb{Z}^{|X|}$的每个生成元对应到自身，显然是同构。
• $q\geq1$的同调群：两边都是0群，零映射自然是同构。

综上，$j_*$在所有维数的同调群上都是同构，因此整体是同构映射。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Cameron