复函数求导：如何计算φ关于kₓ的梯度？

你的链式法则思路完全正确！咱们一步步把这个偏导数算清楚：

步骤1：确认链式法则的应用 #

因为$\phi = \arctan(z)$，其中$z = \frac{m}{k_x - i s k_y}$，根据链式法则：
$$\partial_{k_x}\phi = \frac{d\phi}{dz} \cdot \frac{\partial z}{\partial k_x}$$
这个推导逻辑没问题，接下来分两部分计算。

步骤2：计算$\frac{d\phi}{dz}$ #

对于基本反正切函数，导数公式是：
$$\frac{d}{dz}\arctan(z) = \frac{1}{1 + z^2}$$

步骤3：计算$\frac{\partial z}{\partial k_x}$ #

把$z$写成幂函数形式$z = m(k_x - i s k_y)^{-1}$，对$k_x$求偏导时将$k_y$视为常数，用幂函数求导法则：
$$\frac{\partial z}{\partial k_x} = m \cdot (-1)(k_x - i s k_y)^{-2} \cdot \frac{\partial}{\partial k_x}(k_x - i s k_y) = -\frac{m}{(k_x - i s k_y)^2}$$

步骤4：合并结果并化简 #

将前两步的结果相乘：
$$\partial_{k_x}\phi = \frac{1}{1 + z^2} \cdot \left(-\frac{m}{(k_x - i s k_y)^2}\right)$$
把$z = \frac{m}{k_x - i s k_y}$代入$1+z^2$并通分：
$$1 + z^2 = 1 + \frac{m^2}{(k_x - i s k_y)^2} = \frac{(k_x - i s k_y)^2 + m^2}{(k_x - i s k_y)^2}$$
代入后分母的$(k_x - i s k_y)^2$会相互约掉，得到最终结果：
$$\partial_{k_x}\phi = -\frac{m}{(k_x - i s k_y)^2 + m^2}$$

如果需要展开分母（利用$s^2=1$的特性），还可以进一步整理为：
$$\partial_{k_x}\phi = -\frac{m}{k_x^2 - k_y^2 + m^2 - 2 i s k_x k_y}$$

另外，你之前把$z$有理化的思路也可以用来验证结果——对有理化后的$z$直接求偏导，最终会得到和上面一致的结论，所以你的方法完全可行。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者D.Silva