不显性求解微分方程，求鱼类体重的极限值

嘿，这个问题完全不用显性求解微分方程，咱们从平衡态（稳态）分析的角度就能搞定，思路很清晰：

• 第一步：找到平衡解（体重不再变化的状态）
  当时间趋向无穷时，如果体重趋近于某个稳定值，那此时体重的变化率应该为0，也就是令dw/dt = 0：
  $$\alpha w^{2/3} - \beta w = 0$$
  提取公因子$w^{2/3}$，可以拆成两个解：

  1. $w^{2/3}=0$ → $w=0$（这是一个退化的平衡态，对应鱼类死亡的情况）
  2. $\alpha - \beta w^{1/3}=0$ → 解这个式子得到 $w = \left( \frac{\alpha}{\beta} \right)^3$（这是我们要关注的稳定平衡态）

• 第二步：分析平衡态的稳定性（判断哪个是长期趋向的状态）
  我们只需要看体重在平衡态附近时，dw/dt的符号：

  • 当 $0 < w < \left( \frac{\alpha}{\beta} \right)^3$ 时，$\alpha w^{2/3} > \beta w$，所以dw/dt > 0——体重会持续增加，朝着平衡态靠近；
  • 当 $w > \left( \frac{\alpha}{\beta} \right)^3$ 时，$\alpha w^{2/3} < \beta w$，所以dw/dt < 0——体重会持续减少，同样朝着平衡态靠近；
  • 而对于$w=0$这个平衡态，只要体重稍微大于0（出生时体重$w_0>0$，符合实际情况），dw/dt就为正，体重会远离0，所以这个状态是不稳定的。

• 结论
  不管初始体重$w_0$是大于还是小于$\left( \frac{\alpha}{\beta} \right)^3$，随着时间趋向无穷，体重最终都会趋近于这个稳定的平衡态。也就是：
  $$\lim_{t\to \infty} w(t) = \left( \frac{\alpha}{\beta} \right)^3$$

如果想更直观理解，你可以画dw/dt关于$w$的函数图：当$w\geq0$时，这个函数从0开始先上升后下降，在$w=\left( \frac{\alpha}{\beta} \right)^3$处回到0。函数值为正的区域体重增长，为负的区域体重下降，自然就会收敛到那个平衡点啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者italy