如何通过闵可夫斯基第一定理证明拉格朗日四平方和定理？

当咱们把数论几何的基础内容搭建完成后，通常会拿拉格朗日四平方和定理（也就是任意自然数都能表示成四个完全平方数的和）来做实例，帮大家理解这套理论的实际用法。这个证明的核心步骤可以拆解为：

• 第一步，咱们只需要证明结论对任意奇素数$p$成立就足够了。这背后依赖的是那个经典的四平方和乘积恒等式——两个能表示成四平方和的数，它们的乘积同样可以写成四个平方数的和。有了这个恒等式，自然数的情况就能分解到素数层面，再一步步推广到全体自然数。
• 第二步，针对素数$p$的情况，咱们借助数论几何里的格点工具来推进：
  • 先构造一个格$\Lambda = {(x_1,x_2,x_3,x_4) \in \mathbb{Z}^4 \mid x_1 + x_2 p \equiv 0 \pmod{p}, x_3 + x_4 p \equiv 0 \pmod{p}}$，这个格的行列式为$p^2$。
  • 接着考虑一个半径为$\sqrt{2p}$的闭球$B$，它的体积是$\frac{\pi^2}{2}(2p)2 = 2\pi^2 p^2$。根据闵可夫斯基格点定理，这个球内部必然存在一个非零的格点$(a,b,c,d) \in \Lambda$。
  • 对这个格点来说，$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \equiv 0 \pmod{p}$，同时因为它在球内，所以$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 < 2p$。这个和不可能是0（非零格点），也不可能达到2p，所以只能等于$p$——这就直接证明了奇素数$p$可以表示成四个平方数的和。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jamai-Con