求函数$G(x) = an^{-1}(x^2 + 1)$的导数，请求专业帮助

没问题，我带你一步步搞定这个反正切复合函数的导数计算！这个问题的核心是用链式法则，因为这是典型的复合函数求导场景。

步骤拆解： #

1. 拆分复合函数
   把$G(x)$拆成外层函数和内层函数：

   • 外层函数：$f(u) = \tan^{-1}(u)$（也就是反正切函数）
   • 内层函数：$u(x) = x^2 + 1$
     换句话说，$G(x) = f(u(x))$，这正是链式法则的适用形式。

2. 牢记外层函数的导数公式
   反正切函数的基本导数公式是：
   $$\frac{d}{du} \tan^{-1}(u) = \frac{1}{1 + u^2}$$
   这个公式是需要记牢的基础导数之一，别搞混啦。

3. 计算内层函数的导数
   内层函数$u(x)=x^2+1$的导数很简单，用幂函数求导法则和常数导数为0的规则：
   $$\frac{d}{dx} (x^2 + 1) = 2x + 0 = 2x$$

4. 应用链式法则合并结果
   链式法则的核心是：$G'(x) = f'(u(x)) \cdot u'(x)$。我们把$u=x^2+1$代入外层导数，再乘以内层导数：
   $$G'(x) = \frac{1}{1 + (x^2 + 1)^2} \cdot 2x$$

5. （可选）化简分母
   把分母展开化简会更整洁：
   $$1 + (x²⁺¹⁾2 = 1 + x^4 + 2x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 2$$
   所以最终的导数可以写成：
   $$G'(x) = \frac{2x}{x^4 + 2x^2 + 2}$$

小提示 #

复合函数求导的关键就是“拆、求、合”：先拆成内外层，分别求导，再把结果相乘。遇到这类带反三角函数、对数、指数的复合函数，一定要先记牢它们的基础导数公式，这样后续计算就不会卡壳啦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者temp