关于素数三次方交替和相关平方等式k>2时成立性的技术问询

先看我们观察到的两个具体等式：

$$\begin{align}3(2^3 - 3^3 + 5^3) + 6 &= 18^2 \ 5(2^3 - 3^3 + 5^3 - 7^3 + 11^3) + 6 &= 74^2.\end{align}$$

这些等式可以归纳为统一的形式：

$$6 + (2k+1)\sum_{n=1}^{2k+1}p_n{ \ \ 3}(-1)^{n+1} = x^2$$

其中：

• $k\in\mathbb{N}$（$k$为自然数）
• $p_n$表示第$n$个素数

目前已验证的情况：

• 当$k=1$和$k=2$时，存在整数$x$满足等式（对应上面的两个例子）
• 当$k=3$时，等式不成立，找不到对应的整数$x$
• 测试若干更大的$k$值后，发现$k>2$时似乎都没有整数解

现在想确认的核心问题是：对于所有大于2的自然数$k$，该等式是否都不存在整数解$x$？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mr Pie