垂直于y轴的正方形截面体体积：为何计算结果为2？

我来一步步拆解这个问题，帮你搞清楚为什么最终结果是2：

• 第一步：确定任意高度y处的截面边长
  这个立体的底部区域由曲线y = x²和直线y = 1围成。当我们垂直于y轴截取截面时，每个截面都是正方形。首先得找到在任意高度y处，这个正方形的边长是多少。
  从曲线y = x²反解可得x = ±√y，也就是说在高度y处，x的取值范围是从-√y到√y，这段水平长度就是√y - (-√y) = 2√y——这就是正方形的边长。

• 第二步：计算截面面积
  因为截面是正方形，面积等于边长的平方，所以每个高度y处的截面面积A(y)为：
  A(y) = (2√y)² = 4y

• 第三步：通过积分计算总体积
  立体的体积等于所有垂直于y轴的截面面积从底部到顶部的积分。这里y的取值范围是从0（曲线y=x²的顶点）到1（直线y=1），所以体积V的积分表达式是：
  V = ∫₀¹ A(y) dy = ∫₀¹ 4y dy
  计算这个积分：4y的原函数是2y²，代入上下限1和0后，得到2*(1)² - 2*(0)² = 2 - 0 = 2。

这样一步步推导下来，这个立体的体积自然就是2啦。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Neil H