求从ℝ²到ℝ²的逆时针旋转3π/4的变换矩阵A

别担心，推导这个旋转矩阵其实有一套很清晰的步骤，我一步步带你理清楚：

第一步：回忆平面旋转的通用推导逻辑 #

对于平面上任意一点 ((x, y))，绕原点逆时针旋转角度 (\theta) 后，我们可以通过极坐标和三角函数的和角公式来推导变换后的坐标 ((x', y'))：

1. 先把直角坐标转成极坐标：(x = r\cos\alpha)，(y = r\sin\alpha)，其中 (r) 是点到原点的距离，(\alpha) 是该点与x轴正方向的夹角。
2. 旋转 (\theta) 角后，新的夹角是 (\alpha + \theta)，所以新坐标的极坐标形式是：
   (x' = r\cos(\alpha + \theta))，(y' = r\sin(\alpha + \theta))
3. 用三角函数的和角公式展开：
   • (x' = r(\cos\alpha\cos\theta - \sin\alpha\sin\theta) = x\cos\theta - y\sin\theta)
   • (y' = r(\sin\alpha\cos\theta + \cos\alpha\sin\theta) = x\sin\theta + y\cos\theta)

第二步：写出通用旋转矩阵 #

根据上面的坐标变换关系，对应的2×2变换矩阵 (A) 就是：

[ cosθ   -sinθ ]
[ sinθ    cosθ ]

这个矩阵的作用就是把向量 (\begin{bmatrix}x \ y\end{bmatrix}) 左乘，得到旋转后的向量 (\begin{bmatrix}x' \ y'\end{bmatrix})。

第三步：代入θ=3π/4计算具体矩阵 #

现在我们需要计算 (\cos(3\pi/4)) 和 (\sin(3\pi/4)) 的值：

• (\cos(3\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2})
• (\sin(3\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2})

把这两个值代入通用矩阵，就得到逆时针旋转3π/4的变换矩阵：

[ -√2/2   -√2/2 ]
[  √2/2   -√2/2 ]

验证一下（可选） #

比如取x轴上的点 ((1, 0))，用这个矩阵左乘：
(\begin{bmatrix} -√2/2 & -√2/2 \ √2/2 & -√2/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 \ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-√2/2 \ √2/2\end{bmatrix})
这个点确实是(1,0)逆时针旋转135°（也就是3π/4弧度）后的位置，完全正确。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Solange Ogaz-Gallardo