两平面夹角定义疑问：为何仅交线垂线构成的角等于θ？

嘿，这个问题戳中了二面角定义的核心细节，咱们掰开揉碎了说：

两个平面的夹角（也就是二面角的平面角），严格定义是：在交线MN上任取一点，分别在两个平面内作垂直于MN的直线，这两条直线的夹角。这个定义不是随便定的——它保证了这个角的唯一性：不管你在MN上选哪个点，只要作的是垂直于交线的垂线，得到的角大小完全一致，不会因为直线的位置或方向变化而改变。

为什么∠AKB等于θ？ #

AK在第一个平面内且⊥MN，KB在第二个平面内且⊥MN，完美贴合上面的定义。这时候∠AKB的大小，完全由两个平面相对于交线MN的“倾斜程度”决定，和AK、KB的长度无关，就是咱们要的平面夹角θ（或者它的补角，通常取锐角/直角作为夹角）。

为什么∠LKB不等于θ？ #

假设KL是第一个平面内不垂直于MN的直线，那∠LKB的大小就会被KL自身的方向“干扰”：

• KL和MN之间有一个非直角的夹角α，这时候KL相当于第一个平面内的一条斜线，它和KB（垂直于MN的直线）的夹角，其实是“斜线与另一个平面内垂线的夹角”，而不是两个平面本身的相对倾斜角。
• 举个直观的例子：把MN当成x轴，第一个平面设为xy平面，第二个平面设为xz平面（此时θ=90°）。取K为原点，KB沿z轴（垂直于MN），如果KL沿xy平面内的y=x方向（和MN成45°），那∠LKB就是这条斜线和z轴的夹角，算出来是45°，显然不等于两个平面的夹角90°。
• 本质上，∠LKB的大小取决于KL和MN的夹角，它反映的是KL这条直线和另一个平面的关系，而不是两个平面之间的关系。只有当两条直线都垂直于交线时，它们的夹角才会只由两个平面的位置决定，不受直线自身方向的影响。

简单说：平面夹角θ是两个平面“绕交线转出来的角度差”，只有垂直于交线的垂线，才能精准捕捉这个角度差；一旦直线不垂直于交线，这个角就掺了“直线自身倾斜”的水分，自然不等于θ了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Lanet