二元正实数广义均值μ(a,b)的积分定义与闭式求解问询

嘿，咱们先来明确二元正实数的广义均值μ(a,b)的定义：
$$\frac{1}{2 \mu(a,b)}=\int_0^\infty \frac{dx}{e^{ax}+e{bx}}=\int_0^1 \frac{dt}{t^{1-a}+t{1-b}}$$

这个积分可以用超几何函数或者广义调和数写出闭式形式，而且由对称性可知a和b是可以互换的哦：

超几何函数表示形式 #

$$\frac{1}{2 \mu(a,b)}=\frac{1}{a} {_2 F_1 } \left(1, \frac{a}{a-b};1+\frac{a}{a-b};-1 \right)$$

广义调和数表示形式 #

$$\frac{1}{2 \mu(a,b)}=\frac{1}{2(a-b)} \left( H_{b/(2(a-b))}-H_{(2b-...$$

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Yuriy S