如何证明C^*的任意紧子群均包含于单位圆群T^*？

嗨，我来帮你搞定这个问题！其实反证法完全可行，可能是之前在细节上没卡准，咱们一步步理清楚：

首先明确已知定义：

• $\mathbb{C}^*$是非零复数构成的乘法群，运算为复数乘法
• $T^{*$是单位圆群，即所有满足$|z|=1$的非零复数，是$\mathbb{C}}*$的子群
• $G$是$\mathbb{C}^*$的子群，且作为复数集合是紧集（在$\mathbb{C}$的欧几里得拓扑下，紧集等价于有界闭集——这是Heine-Borel定理的结论，也是整个证明的核心依据）

反证法步骤 #

假设$G \not\subset T^*$，则存在元素$a \in G$，使得$|a| \neq 1$，分两种情况讨论：

• 情况1：$|a| > 1$
  因为$G$是子群，所以$a$的所有正整数幂$a^n$（$n \in \mathbb{N}^{+$）都属于$G$。计算模长可得：$|a}n| = |a|^n$。当$n \to +\infty$时，$|a|^n$会趋向于$+\infty$，这说明$G$中的元素模长可以无限增大，即$G$是无界集。但紧集必须是有界的，这就产生了矛盾。
• 情况2：$0 < |a| < 1$
  同样，$G$是子群，所以$a$的逆元$a^{-1} \in G$，而$|a^{-1}| = \frac{1}{|a|} > 1$。此时考虑$a^{{-1}$的正整数幂$(a}{-1})^n = a^{{-n}$，其模长$|a}{-n}| = \left(\frac{1}{|a|}\right)^n$，当$n \to +\infty$时也会趋向于$+\infty$，同样导致$G$无界，与$G$是紧集矛盾。

两种情况都导出了矛盾，说明最初的假设$G \not\subset T^$不成立，因此$G \subset T^$。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mini_me