有限群阶的可能性判定：非单位元满足a²⁰=e时G的阶排除项

问题 #

假设有限群$G$里存在一个非单位元$a$，满足$a^{20}$是单位元。请问下面哪个选项不可能是群$G$的元素个数？

1. 12
2. 9
3. 15
4. 20

分析推导 #

先回忆群论里的一个核心结论：有限群中任意元素的阶一定整除该群的阶。

已知$a$不是单位元，且$a^{20}=e$（$e$为单位元），那元素$a$的阶$d$必然是$20$的正约数，而且$d>1$，所以$d$的可能取值是：2、4、5、10、20。

现在逐个看选项：

• 选项1（12）：2、4都能整除12，所以群里完全可以存在阶为2或4的元素$a$，满足$a^{20}=e$，没问题。
• 选项2（9）：9的正约数只有1、3、9，而我们刚才列出的$a$的所有可能阶（2、4、5、10、20）都不整除9，这就意味着这个群里不可能存在满足条件的元素$a$，所以9不可能是$G$的阶。
• 选项3（15）：5能整除15，取一个阶为5的元素$a$，那么$a^{20}=(a5)^4=e4=e$，完全符合要求，所以15是可能的。
• 选项4（20）：直接取$a$是阶为20的元素（比如循环群$\mathbb{Z}_{20}$的生成元），显然满足$a^{20}=e$，所以20也没问题。

所以最终答案是选项2) 9。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者1256