关于自然数n的倍数中数字d出现次数序列的定理与问题问询

一、核心问题：序列是否能包含所有自然数？ #

咱们先直接聚焦你问的第一个关键问题：对于任意自然数$n\geq1$和数字$d\in{0,1,...,9}$，序列$c_{n,d}(k)$是不是总能取到所有自然数？

答案是是的，几乎所有情况都成立，甚至很难找到反例。咱们分情况唠唠：

• 如果$n$和10互质（也就是$n$不含2或5的因子）：比如$n=3,7,9,11$这类。根据循环小数的性质，1/n的循环节长度是$t$，那由$t$个9组成的数肯定是$n$的倍数。对于任意$d\neq0$，咱们可以用鸽巢原理：取$n+1$个数，分别是$d, dd, ddd,..., \underbrace{dd...d}{n+1个}$，这堆数模$n$的余数里必有两个相同，相减后得到的数是$\underbrace{dd...d}{m个} \times 10^{s$，因为$n$和10互质，所以$\underbrace{dd...d}_{m个}$肯定是$n$的倍数，也就是说存在$k$使得$kn$就是$m$个$d$连在一起，那$c_{n,d}(k)=m$，自然能取到任意自然数。对于$d=0$更简单，取$k=10}m$，$kn=n\times10^m$末尾有$m$个0，直接就能凑出$m$个0的出现次数。
• 如果$n$含有2或5的因子：比如$n=2,4,5,10$这类。对于$d\neq0$，咱们可以构造一个数：前面是$m$个$d$，后面加一个满足倍数条件的尾巴（比如$n$是偶数就加个偶数位，是5的倍数就加0或5），这样整个数肯定是$n$的倍数，里面正好有$m$个$d$。对于$d=0$，同样取$k=10^m$，$kn$末尾的0的数量就是$m$，轻松满足。

唯一可能有人误以为是反例的情况，比如$n=2$和$d=5$，其实完全可以构造$55...52$（$m$个5加个2），这个数是2的倍数，里面就有$m$个5，所以也能取到任意自然数。

二、相关定理与已知研究结论 #

关于这个序列，目前有一些已被证明的结论：

• 循环小数相关定理：当$n$与10互质时，1/n的循环节长度$t$满足$10^t \equiv 1 \pmod{n}$，由此可以推导出由$t$个相同数字组成的数（除了0），总能找到某个倍数是$n$的倍数，这直接支撑了序列能取到任意自然数的结论。
• 增长速度结论：对于固定的$n$和$d$，$c_{n,d}(k)$的增长速度是$O(\log k)$——因为$kn$的十进制位数是$O(\log k)$，一个数里某个数字最多出现的次数就是它的位数，所以出现次数不可能比$\log k$增长得更快。

还有一些未被完全证明的猜想，比如：对于固定的$n$和$d$，序列$c_{n,d}(k)$会无限次取到任意自然数（而不仅仅是存在性），这个猜想目前在大部分小的$n$和$d$上都通过数值验证了，但还没有通用的证明。

三、截断序列的分布研究现状 #

你问到的把序列截断到前$M$项，统计各出现次数的分布问题，目前研究主要集中在计算数论和伪随机数分析领域：

• 当$n$与10互质时，由于$kn$的数字分布在某种程度上接近伪随机，有猜想认为当$M$足够大时，各出现次数的频率会趋近于一个稳定分布，大概率是泊松分布——也就是出现次数少的数值（比如0、1、2）出现频率很高，大的出现次数频率迅速下降。
• 对于含有2或5因子的$n$，因为末尾数字有固定限制（比如偶数的倍数末尾只能是0、2、4、6、8），分布会有偏差：比如$d$是奇数时，末尾不可能出现$d$，所以出现次数的分布会比互质情况更集中在较小数值，但随着$M$增大，分布依然会逐渐稳定。
• 对于特殊的$n$（比如10的幂），分布相对容易分析：因为$kn$的末尾有固定数量的0，前面的数字可以任意组合，分布更接近随机数字的自然分布。

不过要说明的是，目前关于截断序列的分布，还没有统一的通用定理，大部分结论都是基于数值模拟的猜想，以及针对特定$n$和$d$的证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者ploosu2