求线性变换A在指定基下的矩阵B，验证计算方法正确性

你的方向完全正确，一点都没把问题复杂化！这个场景下的标准解法就是你想到的思路：用基向量构造过渡矩阵( S )，再通过公式( B = S^{-1}AS )计算变换在目标基下的矩阵。

我给你拆解下具体步骤，帮你彻底确认：

• 第一步：构造过渡矩阵( S )
  把给定的两个基向量作为列向量排列成矩阵，也就是：
  [
  S = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}
  ]

• 第二步：计算( S )的逆矩阵( S^{-1} )
  对于2阶矩阵( \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} )，逆矩阵公式是( \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \ -c & a \end{bmatrix} )。这里( S )的行列式是( 20 - 11 = -1 )，所以逆矩阵为：
  [
  S^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & -2 \end{bmatrix}
  ]

• 第三步：计算矩阵乘积( S^{-1}AS )
  先计算( AS )：
  [
  AS = \begin{bmatrix} 3 & 1 \ -1 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 \ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 3 \ 2 & -1 \end{bmatrix}
  ]
  再用( S^{-1} )左乘这个结果：
  [
  S^{-1}AS = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 1 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}7 & 3 \2 & -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & -1 \3 & 5\end{bmatrix}
  ]

最终得到的( \begin{bmatrix}2 & -1 \3 & 5\end{bmatrix} )就是该线性变换在给定基下的矩阵( B )。

所以你的思路完全没问题，不用纠结自己是不是想复杂了——这就是最直接高效的解法！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Morgan t