马尔可夫链状态i的周期定义疑问：Durret教材是否有误？

兄弟，我太懂你读Durrett这本《Essentials of Stochastic Processes》的痛苦了——这本书的错误率确实让人头疼，尤其是马尔可夫链这块的周期定义和例子，很容易绕进去。咱们先把核心问题掰扯清楚，看看是笔误还是咱们理解不到位。

首先先把你提到的书中定义原文放出来：

马尔可夫链中状态i的周期是能整除所有满足$p^{n}(i,i)$（$∀n≥1$）的步数n的最大数。

这里大概率是作者的笔误！正确的状态周期定义应该是：状态i的周期是能整除所有使得$p^n(i,i) > 0$的n的最大正整数d。

为啥这么说？咱们拆解下：

• 原定义里的“满足$p^{{n}(i,i)$（$∀n≥1$）”表述完全有问题——因为对于很多n，$p}n(i,i)$的值是0，比如周期为2的状态，n取奇数时$p^n(i,i)=0$，总不能说要整除所有n≥1吧？那根本找不到这样的最大数，逻辑直接不通。
• 修正后的定义才符合学界共识：我们只关注那些能从状态i出发走n步回到i的n（也就是$p^n(i,i) > 0$的n），然后找这些n的最大公约数，这个最大公约数就是状态i的周期。

举个经典例子帮你验证：
考虑一个简单的两状态马尔可夫链，状态0只能到1（$p(0,1)=1$），状态1只能到0（$p(1,0)=1$）。

• $p^{1(0,0)=0$，$p}2(0,0)=1$，$p^{3(0,0)=0$，$p}4(0,0)=1$...
• 所有使得$p^n(0,0)>0$的n是2、4、6...，这些数的最大公约数是2，所以状态0的周期是2，完全符合修正后的定义。

如果按原书的错误表述，你肯定会困惑“n=1的时候$p^1(0,0)=0$，这个n怎么被整除？”——这就是笔误导致的理解障碍，不是你的问题！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Mathematicing