求以y=x²与y=1围成区域为底、垂直y轴截面为正方形的立体W的体积

咱们先梳理下这个问题的核心逻辑：要算的立体底面是抛物线 y = x² 和直线 y = 1 围成的区域，而且垂直于y轴的截面都是正方形。这种场景用「切片法」计算体积最直接——就是对每个y值对应的截面面积做积分。

步骤1：确定底面区域的范围 #

先找两条曲线的交点：联立 y = x² 和 y = 1，解得 x = ±1。所以底面在x方向上从-1到1，y方向上从0到1。
因为是垂直于y轴切片，咱们用y作为积分变量更方便：对任意一个y值（0 ≤ y ≤ 1），对应的x范围是从 -√y 到 √y（从 y = x² 反解出来的）。

步骤2：计算截面正方形的边长和面积 #

垂直于y轴的截面是正方形，它的边长就是当前y值下，底面在x方向的宽度：
边长 = √y - (-√y) = 2√y

正方形的面积就是边长的平方：
A(y) = (2√y)² = 4y

步骤3：积分计算体积 #

体积就是从y=0到y=1，对截面面积A(y)积分：

V = ∫（下限0，上限1）A(y) dy = ∫（下限0，上限1）4y dy

计算这个定积分：
∫4y dy = 2y² + C
代入上下限1和0：
V = 2*(1)² - 2*(0)² = 2

所以立体W的体积是2。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Neil H