计算2018个连续1组成的数a减1009个连续2组成的数b的平方根

咱们一步步来解这道题，不用计算器，靠代数变形和数字规律就行：

1. 用代数公式表示a和b #

首先，n个连续数字1组成的数，通用表达式是 (10ⁿ - 1)/9（比如3个1就是(10³-1)/9=111，验证成立）。所以：

• 2018个1组成的数a：a = (10²⁰¹⁸ - 1)/9
• 1009个2组成的数b，本质是2乘以1009个1的数，所以：b = 2*(10¹⁰⁰⁹ - 1)/9

2. 计算a - b的表达式 #

把a和b代入差值，通分后化简：

a - b = [(10²⁰¹⁸ - 1) - 2*(10¹⁰⁰⁹ - 1)] / 9
= [10²⁰¹⁸ - 1 - 2*10¹⁰⁰⁹ + 2] / 9
= [10²⁰¹⁸ - 2*10¹⁰⁰⁹ + 1] / 9

这里注意分子部分：10²⁰¹⁸ = (10¹⁰⁰⁹)²，所以分子其实是完全平方公式：(10¹⁰⁰⁹ - 1)²，代入后：

a - b = (10¹⁰⁰⁹ - 1)² / 9
= [(10¹⁰⁰⁹ - 1)/3]²

3. 化简并得出开根号的结果 #

观察(10¹⁰⁰⁹ - 1)：这是1009个连续的9（比如10³-1=999），除以3之后就是1009个连续的3（999/3=333）。

所以√(a - b)就等于这个数——1009个连续数字3组成的整数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者User973