已知d(x,y)≤cd'(x,y)，求证(X,d)中开集必为(X,d')中开集

别慌，咱们紧扣开集的定义，结合两个度量的不等式关系一步步推导就行～

先明确已知条件 #

• 非空集合X上定义了两个度量d和d'
• 存在正数c>0，对所有x,y∈X满足 d(x,y) ≤ c d'(x,y)
• U是度量空间(X,d)中的开集，即对任意x∈U，存在r>0，使得d-开球B_d(x, r) = { y ∈ X | d(x,y) < r } ⊂ U

核心推导步骤 #

我们的目标是证明：U在(X,d')中也是开集，也就是要找到对每个x∈U对应的d'-开球，让它完全包含在U里。

1. 利用已知开集的性质
   因为U是(X,d)的开集，所以对任意x∈U，一定存在某个r>0，使得：

   B_d(x, r) ⊂ U

2. 构造d'-开球的半径
   已知d(x,y) ≤ c d'(x,y)，咱们取r' = r/c（因为c>0，所以r'肯定是正数）。

3. 证明d'-开球包含于U
   任取y∈B_{d'}(x, r')，根据d'-开球的定义，有d'(x,y) < r' = r/c。
   两边乘以正数c，不等号方向不变，得到c d'(x,y) < r。
   结合已知的不等式d(x,y) ≤ c d'(x,y)，可以推出d(x,y) < r——这说明y∈B_d(x, r)。
   而我们已经知道B_d(x, r) ⊂ U，所以y∈U。

   这就意味着B_{d'}(x, r')里的所有点都在U中，即B_{d'}(x, r') ⊂ U。

4. 得出结论
   对U中的每一个点x，我们都找到了对应的r'>0，使得d'-开球包含于U，完全符合(X,d')中开集的定义。因此U也是(X,d')中的开集。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Nicole