拓扑学术语疑问：关于空间点集的定义理解确认

嘿，你的理解完全正确！

拓扑空间的定义本身就是由两部分组成的：一个底集合（也就是你说的“点集”），加上一个满足拓扑公理的开集族（也就是拓扑）。所以当题目说明$S$是拓扑空间$X$和$Y$的点集，$X$的拓扑为$τ₁$、$Y$的拓扑为$τ₂$时，确实可以把它们写成$X=(S,τ₁)$和$Y=(S,τ₂)$——这两个拓扑空间共享同一个底集合$S$，只是装备了不同的拓扑结构。

这种“同一集合上赋予不同拓扑”的情况在拓扑学里非常常见，举个直观的例子帮助你理解：

• 取$S$为实数集$\mathbb{R}$，$τ₁$是我们熟悉的欧几里得拓扑（由所有开区间生成的开集族）；
• $τ₂$是离散拓扑（$\mathbb{R}$的所有子集都被定义为开集）；
• $τ₃$是平凡拓扑（只有空集$\varnothing$和$\mathbb{R}$本身是开集）。

这三个拓扑空间$(\mathbb{R},τ₁)$、$(\mathbb{R},τ₂)$、$(\mathbb{R},τ₃)$的底集合都是$\mathbb{R}$，但它们的拓扑性质差异巨大：比如离散拓扑下每个单点集都是开集，而平凡拓扑下除了空集和全集外没有其他开集，欧几里得拓扑则介于两者之间。

如果后续遇到类似表述，只要提到两个拓扑空间共享同一个点集，就可以默认它们的底集合相同，只是拓扑结构不同~

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user528465