m重二项式系数和的闭式/估计及多项式$(1+x+…+x^{k-1})^m$系数问询

嘿，咱们来一步步拆解你提出的这个问题，分几个核心部分来聊清楚：

首先，咱们先把问题里的多项式展开和系数对应上：$(1+x+x^2+\dots+x{k-1})^m$本质上就是$\left( \frac{1-x^k}{1-x} \right)^{m$。利用二项式展开和负二项式展开，我们可以直接推导出$x}j$系数$C(k,m;j)$的精确闭式：

$$C(k,m;j) = \sum_{t=0}^{\min\left(m, \lfloor j/k \rfloor\right)} (-1)^t \binom{m}{t} \binom{m + j - kt - 1}{j - kt}$$

这里约定当$r<0$时，$\binom{n}{r}=0$。这个式子是完全精确的，但当$m$和$j$都很大时，直接计算这个求和会非常繁琐，所以我们需要渐近估计来简化。

如果$k$固定、$m$趋于无穷大，且$j$在均值附近（也就是$j \approx m \cdot \frac{k-1}{2}$），可以用局部中心极限定理来估计：

$$C(k,m;j) \sim \frac{1}{\sqrt{2\pi m \sigma^2}} \exp\left( -\frac{(j - \mu)^2}{2m \sigma^2} \right)$$

其中$\mu = m \cdot \frac{k-1}{2}$是$m$个0到$k-1$整数之和的期望，$\sigma^2 = \frac{k^2 - 1}{12}$是单个变量的方差。这时候把$j$归一化（即$\frac{j - \mu}{\sqrt{m} \sigma}$）后，对应的概率分布会收敛到标准正态分布$N(0,1)$。

这是你特别关注的场景：$k$和$m$同阶增长，咱们用随机变量的视角来分析会更直观——把$C(k,m;j)$看作是$m$个独立、均匀取0到$k-1$的随机变量之和等于$j$的组合数，也就是$C(k,m;j) = k^m \cdot P(S_m = j)$，其中$S_m = X_1+X_2+\dots+X_m$，每个$X_i$均匀分布在${0,1,\dots,k-1}$。

1. 均值、方差与归一化变量 #

先计算基本统计量：

• 单个变量的期望：$\mathbb{E}[X_i] = \frac{k-1}{2} \approx \frac{\lambda m}{2}$，所以$S_m$的期望$\mathbb{E}[S_m] \approx \frac{\lambda m^2}{2}$
• 单个变量的方差：$\text{Var}(X_i) = \frac{k^2 -1}{12} \approx \frac{\lambda^2 m^2}{12}$，所以$S_m$的方差$\text{Var}(S_m) \approx \frac{\lambda^2 m^3}{12}$

定义归一化变量：
$$Z_m = \frac{S_m - \mathbb{E}[S_m]}{\sqrt{\text{Var}(S_m)}} = \frac{S_m - \frac{\lambda m^2}{2}}{\frac{\lambda m^{3/2}}{\sqrt{12}}}$$

2. 极限分布与收敛速度 #

根据中心极限定理，当$m\to\infty$时，$Z_m$会收敛到标准正态分布$N(0,1)$。如果要更精细的收敛速度，可以用Berry-Esseen定理，这里因为$X_i$是对称分布（关于$\frac{k-1}{2}$对称），三阶中心矩为0，所以收敛速度是$O\left(\frac{1}{\sqrt{m}}\right)$。

3. $C(k,m;j)$的渐近估计 #

结合上述结果，$C(k,m;j)$的渐近表达式可以写成：
$$C(k,m;j) \sim \frac{\lambda^{m-1} m^{m - 3/2} \sqrt{6}}{\sqrt{\pi}} \exp\left( -\frac{6\left(j - \frac{\lambda m^2}{2}\right)2}{\lambda^2 m^3} \right)$$

这里我们代入了$k=\lambda m$进行化简，这个式子在$j$靠近均值时精度很高。

4. 大偏差场景 #

如果$j$偏离均值很远（比如$j = o(m^2)$或者$j \approx m(k-1) - o(m^{2)$），就需要用**大偏差估计**。比如用Cramér定理，大偏差概率的速率函数可以通过计算矩生成函数$\mathbb{E}[e}{\theta X_i}] = \frac{e^{\theta k} - 1}{k(e^\theta -1)}$来推导，当$k=\lambda m$时，这个矩生成函数可以近似为$\frac{e^{\theta \lambda m}}{\theta \lambda m}$（当$\theta\to0$时），进而得到大偏差概率的指数衰减速率。

如果需要更精确的估计，比如Edgeworth展开，可以给出正态近似的修正项。由于$X_i$是对称分布，三阶修正项为0，四阶修正项可以用均匀分布的四阶中心矩计算，具体形式为：
$$P(Z_m \leq z) = \Phi(z) + \frac{\gamma_2}{24 m} (z^4 -6z^2 +3) \phi(z) + o\left( \frac{1}{m} \right)$$
其中$\gamma_2 = -\frac{12}{5}$是$X_i$的标准化四阶矩，$\Phi(z)$是标准正态分布的CDF，$\phi(z)$是概率密度函数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者kodlu