复Banach空间上齐次映射的线性性与连续性问询

嘿，这个问题值得好好掰扯一下，直接给结论先：

• 满足条件的$f$不一定是线性的：我们能构造出符合要求但非线性（自然也就不连续）的映射；
• 如果$f$是线性的，那它肯定连续：这既是Hahn-Banach定理的推论，也是Banach空间上连续齐次映射的固有性质。

1. 线性的$f$必然连续 #

已知$f$在稠密子空间$S$上是线性有界的，根据Hahn-Banach定理，这个限制在$S$上的泛函有唯一的线性有界延拓到整个$X$。如果$f$本身在$X$上是线性的，那它只能是这个延拓——毕竟延拓是唯一的嘛，所以$f$肯定是有界的，而Banach空间上线性泛函的连续性和有界性是等价的，因此$f$必然连续。

这里还有个关键小结论：Banach空间上的连续齐次映射一定是线性的。简单说下逻辑：
对任意$x,y\in X$，利用齐次性和连续性取极限：
$$
f(x+y) = \lim_{n\to\infty} n \cdot f\left(\frac{x+y}{n}\right) = \lim_{n\to\infty} n \cdot \left( f\left(\frac{x}{n}\right) + f\left(\frac{y}{n}\right) \right) = \lim_{n\to\infty} \left( f(x) + f(y) \right) = f(x)+f(y)
$$
这就证明了可加性，所以连续齐次映射必然线性；反过来线性的$f$又由Hahn-Banach定理保证连续，二者是等价的。

2. 存在非线性（不连续）的$f$ #

我们用选择公理构造一个具体例子，直观又清楚：
选复Banach空间$X=l^\infty$（所有有界复序列，范数取上确界），它的稠密子空间$S=c_0$（所有趋于0的复序列）。先定义$f$在$S$上的行为：对$x=(x_n)\in c_0$，$f(x)=\lim_{n\to\infty}x_n$——这是个标准的线性有界泛函，范数为1，完全符合题设。

接下来用选择公理取$X$的一组Hamel基$\mathcal{B}$，要求它包含$S$的Hamel基，还要包含几个不在$S$里的元素：比如$x_0=(1,1,1,\dots)$，以及另外两个基元素$b_1,b_2$。

现在来定义$f$在整个$X$上的取值：

• 对$S$里的元素，就按刚才的极限定义来；
• 对$x_0$，我们定义$f(x_0)=2$（而Hahn-Banach延拓会把$x_0$映射到1，这里故意打破延拓的唯一性）；
• 对$b_1,b_2$，定义$f(b_1)=1$，$f(b_2)=1$，但直接定义$f(b_1+b_2)=3$——不是按线性加起来的2，就是要破坏可加性；
• 对任意复数$\alpha$和基元素$b$，定义$f(\alpha b)=\alpha f(b)$，保证齐次性；
• 对其他元素，比如$\alpha(b_1+b_2)$，就定义$f(\alpha(b_1+b_2))=3\alpha$，同样满足齐次性。

这样构造出来的$f$：

• 在$S$上线性有界，符合题设；
• 在$X$上满足复齐次性（不管乘什么复数，$f$的值都跟着乘同一个数）；
• 但$f(b_1+b_2)=3≠1+1=f(b_1)+f(b_2)$，明显不满足可加性，所以是非线性的。而根据前面的结论，非线性的齐次映射肯定不连续——要是连续的话就必须线性了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user531706