关于Mazur定理推导$|x| \leq \liminf |x_n|$的证明疑问
我来帮你理清这个推导逻辑——首先得修正一下你提到的Lax书中的Mazur结论（应该是笔误）：正确表述是若$x_n \rightharpoonup x$，且所有$x_n$都属于赋范空间$X$的闭凸子集$K$，则$x \in K$。这是Mazur定理的核心推论，也是推导范数下半连续性的关键。
下面是具体的推导步骤：
定义下极限并构造闭凸集
记$L = \liminf_{n\to\infty} |x_n|$（即所有子列范数极限的下确界）。对任意$\varepsilon > 0$，构造集合：
$$K_\varepsilon = { y \in X \mid |y| \leq L + \varepsilon }$$
先验证$K_\varepsilon$是闭凸集：- 凸性：对任意$y_1, y_2 \in K_\varepsilon$和$t \in [0,1]$，由三角不等式得$|t y_1 + (1-t)y_2| \leq t|y_1| + (1-t)|y_2| \leq t(L+\varepsilon) + (1-t)(L+\varepsilon) = L+\varepsilon$，凸组合仍在$K_\varepsilon$中。
- 闭性：若$y_k \to y$强收敛，且$|y_k| \leq L+\varepsilon$，由范数连续性可得$|y| = \lim_{k\to\infty} |y_k| \leq L+\varepsilon$，因此$y \in K_\varepsilon$。
利用弱收敛子列和Mazur结论
根据下极限的定义，存在无限多个$n$使得$|x_n| \leq L+\varepsilon$，从中取一个子列${x_{n_k}}$，该子列满足：- ${x_{n_k}} \subset K_\varepsilon$
- $x_{n_k} \rightharpoonup x$（原序列弱收敛，子列必然也弱收敛到$x$）
套用Lax书中的Mazur结论：因为${x_{n_k}}$包含在闭凸集$K_\varepsilon$中且弱收敛到$x$，所以$x \in K_\varepsilon$，即$|x| \leq L + \varepsilon$。
取极限得到最终结论
由于$\varepsilon > 0$是任意选取的，令$\varepsilon \to 0^+$，即可得到：
$$|x| \leq L = \liminf_{n\to\infty} |x_n|$$
你之前得到的$|x_n| \leq C$是弱收敛序列的一致有界性（由一致有界原理推导），这是对的，但它只是推导中的背景性质，真正起关键作用的是通过构造不同的$K_\varepsilon$，用Mazur的闭凸集包含弱极限的结论来挤压出范数的下半连续性。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者Francisco Maion
