证明点积与微分形式曲面积分的等价性

其实不用纠结有没有具体参数化，咱们用任意光滑参数化或者从微分形式的本质入手都能搞定这个证明，我给你捋清楚两种思路：

方法一：用任意光滑参数化推导 #

虽然题目没给$T$的具体参数化，但所有光滑定向曲面都可以被分片的光滑参数化覆盖，咱们取任意一块的参数化$\boldsymbol{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$，其中$(u,v)\in D\subset\mathbb{R}^2$，定向由叉乘$\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v$确定，单位法向量$\boldsymbol{n}=\frac{\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v}{|\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v|}$。

计算左边的曲面积分 #

左边的积分展开后会自动消去模长：
$$
\int_T F\cdot\boldsymbol{n} dA = \int_D F(\boldsymbol{r}(u,v)) \cdot \frac{\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v}{|\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v|} \cdot |\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v| du dv = \int_D F(\boldsymbol{r}(u,v)) \cdot (\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v) du dv
$$

计算右边的微分形式积分 #

右边是微分形式$\phi(F)$在$T$上的积分，需要用拉回映射$\boldsymbol{r}^{*$把$\mathbb{R}}3$上的2-形式拉回参数域$D$：

• $\boldsymbol{r}^*(dy\wedge dz) = \det\begin{pmatrix} y_u & y_v \ z_u & z_v \end{pmatrix} du dv = (\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v)_1 du dv$（对应叉乘的第一个分量）
• $\boldsymbol{r}^*(dx\wedge dz) = \det\begin{pmatrix} x_u & x_v \ z_u & z_v \end{pmatrix} du dv = -(\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v)_2 du dv$（对应叉乘第二个分量的相反数）
• $\boldsymbol{r}^*(dx\wedge dy) = \det\begin{pmatrix} x_u & x_v \ y_u & y_v \end{pmatrix} du dv = (\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v)_3 du dv$（对应叉乘的第三个分量）

把这些代入$\phi(F)$的拉回：
$$
\begin{align*}
\boldsymbol{r}^(\phi(F)) &= f \cdot \boldsymbol{r}^(dy\wedge dz) - g \cdot \boldsymbol{r}^(dx\wedge dz) + h \cdot \boldsymbol{r}^(dx\wedge dy) \
&= f(\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v)_1 du dv - g(-(\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v)_2) du dv + h(\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v)_3 du dv \
&= \left[f(\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v)_1 + g(\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v)_2 + h(\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v)_3\right] du dv \
&= F(\boldsymbol{r}(u,v)) \cdot (\boldsymbol{r}_u\times\boldsymbol{r}_v) du dv
\end{align*}
$$

对比两边 #

两边的被积函数完全相同，积分域也一致，所以分片积分后整体必然相等。

方法二：从微分形式与法向量的本质关系入手 #

在$\mathbb{R}^3$中，定向曲面$T$的面积形式$dA$对应的2-形式其实是单位法向量$\boldsymbol{n}$与体积形式$dV=dx\wedge dy\wedge dz$的内乘，也就是$\iota_{\boldsymbol{n}} dV$，计算后可得：
$$
\iota_{\boldsymbol{n}} dV = n_1 dy\wedge dz - n_2 dx\wedge dz + n_3 dx\wedge dy
$$
其中$\boldsymbol{n}=(n_1,n_2,n_3)$。

而$F\cdot\boldsymbol{n}=fn_1 + gn_2 + hn_3$，当把$\phi(F)$限制在$T$上时，结合定向面积形式$\omega_T=\iota_{\boldsymbol{n}} dV|_T$，可以得到：
$$
\begin{align*}
\phi(F)|_T &= f (dy\wedge dz|_T) - g (dx\wedge dz|_T) + h (dx\wedge dy|_T) \
&= f(n_1 \omega_T) - g(-n_2 \omega_T) + h(n_3 \omega_T) \
&= (fn_1 + gn_2 + hn_3)\omega_T \
&= (F\cdot\boldsymbol{n})\omega_T
\end{align*}
$$
所以积分$\int_T \phi(F)$就等于$\int_T (F\cdot\boldsymbol{n})\omega_T = \int_T F\cdot\boldsymbol{n} dA$，直接得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者wanderingmathematician