求证儒可夫斯基映射将圆|z|=r映射为指定椭圆的技术问询

首先直接回答你的问题：是的，用$z = re^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)$这种极坐标形式，配合$w = u + iv$的实虚部分离，是完成这个证明最简洁直观的方法，接下来咱们一步步拆解整个过程：

步骤1：明确已知条件 #

• 儒可夫斯基映射定义：$$w = J(z) = \frac{1}{2}\left(z + \frac{1}{z}\right)$$，其中$z = x + yi$是复数
• 待映射的曲线：圆$|z| = r$（$r>0$且$r≠1$，$r=1$时会映射成线段$[-1,1]$，这里不展开）

步骤2：用极坐标表示圆上的点 #

对于圆$|z|=r$上的任意一点，我们可以用极坐标形式表示为：
$$z = re^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta)$$
其中$\theta$是参数，取值范围是$[0, 2\pi)$。

同时，复数的倒数$\frac{1}{z}$可以写成：
$$\frac{1}{z} = \frac{1}{r}e^{-i\theta} = \frac{1}{r}(\cos\theta - i\sin\theta)$$
（这是因为$|1/z|=1/r$，辐角为$-\theta$）

步骤3：代入映射公式，分离实部和虚部 #

把$z$和$\frac{1}{z}$代入儒可夫斯基映射，计算$w = u + iv$：
$$
\begin{align*}
w &= \frac{1}{2}\left[ r(\cos\theta + i\sin\theta) + \frac{1}{r}(\cos\theta - i\sin\theta) \right] \
&= \frac{1}{2}\left( r + \frac{1}{r} \right)\cos\theta + i \cdot \frac{1}{2}\left( r - \frac{1}{r} \right)\sin\theta
\end{align*}
$$

对比$w = u + iv$，可以得到实部和虚部的参数方程：

• $u = \frac{1}{2}\left( r + \frac{1}{r} \right)\cos\theta$
• $v = \frac{1}{2}\left( r - \frac{1}{r} \right)\sin\theta$

步骤4：转化为椭圆的标准方程 #

我们知道三角函数的恒等式$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，把上面两个参数方程变形：
$$\frac{u}{\frac{1}{2}\left( r + \frac{1}{r} \right)} = \cos\theta, \quad \frac{v}{\frac{1}{2}\left( r - \frac{1}{r} \right)} = \sin\theta$$

将两式分别平方后相加，就得到：
$$
\frac{u^2}{\left[ \frac{1}{2}\left( r + \frac{1}{r} \right) \right]^2} + \frac{v^2}{\left[ \frac{1}{2}\left( r - \frac{1}{r} \right) \right]^2} = 1
$$
这正是椭圆的标准方程。

步骤5：验证椭圆焦点为$\pm1$ #

对于椭圆$\frac{u^2}{a2} + \frac{v^2}{b2} = 1$（这里$a > b > 0$，因为$r>0$且$r≠1$时，$r+\frac{1}{r} > |r-\frac{1}{r}|$），焦点到中心的距离$c$满足$c^2 = a^2 - b^2$。

代入$a = \frac{1}{2}\left(r + \frac{1}{r}\right)$，$b = \frac{1}{2}\left(r - \frac{1}{r}\right)$计算：
$$
\begin{align*}
a^2 - b^2 &= \left[ \frac{1}{2}\left(r + \frac{1}{r}\right) \right]^2 - \left[ \frac{1}{2}\left(r - \frac{1}{r}\right) \right]^2 \
&= \frac{1}{4}\left[ (r^2 + 2 + \frac{1}{r^2}) - (r^2 - 2 + \frac{1}{r^2}) \right] \
&= \frac{1}{4} \times 4 = 1
\end{align*}
$$
所以$c=1$，椭圆的焦点就是$\pm1$，符合题目要求。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Itsnhantransitive