利用低阶矩信息估计高阶矩的方法探究

嘿，这个问题问到点子上了——只靠有限个低阶矩想直接算出高阶矩，其实没法给你一个通用的精确解法，核心原因是有限矩不足以唯一确定随机变量的分布，不同的分布可能共享前N阶矩，但高阶矩完全不同。不过结合不同的前提假设，我们还是有办法处理的，我给你拆解几种常见场景：

先明确一个关键结论：仅知道前N+1阶矩（α=0到N），有无穷多个不同的概率分布都能满足这些矩条件，它们的高阶矩（α≥N+1）可以相差很大。比如经典的例子：两个不同的连续分布，前4阶矩完全相同，但第5阶矩截然不同。

只有当分布满足Carleman条件（即$\sum_{k=1}^\infty (E[|X|^k]){-1/(2k)} = \infty$）时，整个矩序列才能唯一确定分布，但你只有有限个矩，所以这个条件帮不上忙。

这是实际问题中最常用的情况——如果你对X的分布类型有先验假设，就能精准推导高阶矩：

1. 假设分布属于参数化族 #

比如假设X是正态分布、泊松分布、伽马分布这类有明确参数形式的分布，步骤很直接：

• 用已知的低阶矩估计分布的参数：比如正态分布$N(\mu, \sigma^{2)$，用一阶矩$E[X]$直接得到$\mu$，用二阶中心矩$E[X}2] - (E[X])^{2$算出$\sigma}2$；
• 用该分布的矩公式直接计算高阶矩：比如正态分布的奇数阶中心矩为0，偶数阶中心矩是$(2k-1)!!\sigma^{{2k}$，代入参数就能得到$E[X}{2k}] = \mu^{2k} + \binom{2k}{2}\mu^{2k-2}\sigma2 + ... + (2k-1)!!\sigma^{2k}$。

举个具体例子：已知$E[X] = 2$，$E[X^2] = 5$，那$\mu=2$，$\sigma^{2=5-4=1$，所以$E[X}3] = 2^3 + 321^2 = 14$，$E[X^4] = 2^4 + 62^2*12 + 31^4 = 16+24+3=43$。

2. 利用矩生成函数/特征函数 #

如果已知X的矩生成函数$M(t) = E[e^{tX}]$（或特征函数$\phi(t) = E[e^{itX}]$）存在，且能通过已知低阶矩反推出函数形式：

• 矩生成函数的泰勒展开式是$M(t) = \sum_{k=0}^\infty \frac{E[X^k]}{k!}tk$，已知前N+1项的系数，要是能猜出M(t)的具体表达式（比如指数函数、多项式的组合），就能直接展开得到高阶矩的系数；
• 特征函数的导数在0点的值满足$\phi^{(k)}(0) = i^k E[X^k]$，同样，确定$\phi(t)$后就能求任意阶矩。

3. 正交多项式递推 #

如果X的分布对应某个正交多项式系（比如正态分布对应埃尔米特多项式，伽马分布对应拉盖尔多项式），高阶矩可以通过低阶矩递推得到。比如标准正态分布（$\mu=0, \sigma=1$）的埃尔米特多项式满足递推关系：
xH_n(x) = nH_{n-1}(x) + H_{n+1}(x)
两边取期望，因为对于标准正态，$E[H_n(X)]=0$（n≥1），所以$E[XH_n(X)] = E[H_{n+1}(X)] + nE[H_{n-1}(X)] = 0$，结合多项式展开就能得到$E[X^{k+1}]$和低阶矩的递推式。

如果完全没有关于X分布的先验信息，那只能通过不等式给出高阶矩的可能上下界，常用的工具包括：

• 柯西-施瓦茨不等式：比如对于偶数k=2m，有$E[X^{2m}] \geq (E[X^m])2$；
• Hölder不等式：对于$0 < m < k < l$，有$E[|X|^k] \leq (E[|X|^m]){(l-k)/(l-m)} \cdot (E[|X|^l]){(k-m)/(l-m)}$——不过如果只有到N阶矩，k=N+1的话，只能用已有的矩结合单调性（比如非负随机变量的矩随阶数递增）来估计；
• 矩空间的凸性：所有满足已知矩条件的分布构成一个凸集，高阶矩的极值可以通过求解凸优化问题得到。

• 有分布假设（尤其是参数化族）：先估参数，再用分布的矩公式算高阶矩，这是最实用的方法；
• 矩确定型分布：尝试从矩生成函数/特征函数入手推导；
• 无任何假设：只能得到高阶矩的可能范围，没法得到精确值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者M.A