给定有理原点，圆周格点数量是否可任意大或存在上限？

这个问题问到点子上了！先从咱们熟悉的原点$(0,0)$情况暖个场：当圆心是整数格点时，圆周上的格点数量其实就是平方和函数的取值——也就是满足整数对$(x,y)$使得$x^2+y2=r^{2$的个数，这个数确实能无限增大，比如你取$r$是多个不同费马素数（就是那些形如$2}{2^{k}+1$的素数）的乘积，根据平方和定理，$r}2$的平方和表示数会跟着因子数量指数级增长，想多大就能多大。

那回到核心问题：给定一个有理点作为圆心，是不是真的只有两种可能？答案是肯定的，而且这两种情况完全覆盖了所有有理圆心的情形：

情况1：圆心是整数格点（坐标都是整数） #

这就和原点的情况完全一致了——我们可以构造出半径任意大的圆，让圆周上的格点数量无限增加。比如刚才说的，不断把新的费马素数乘进半径里，对应的平方和表示数会越来越多，格点数量自然也能突破任何给定的$n$。

情况2：圆心不是整数格点（但坐标是有理数） #

这种情况下，不管你选什么半径$r$，圆周上的格点数量永远不会超过某个固定的常数$N$（这个$N$只和圆心的坐标有关）。为什么呢？咱们可以做个简单的坐标变换：把有理圆心写成$(p/q, r/q)$的形式（$p$、$r$、$q$都是整数，$q>0$，而且$p$和$q$或者$r$和$q$互质，毕竟不是整数格点），然后令$x' = qx - p$，$y' = qy - r$。这样一来，原来的圆心就变成了新坐标系里的原点$(0,0)$，而原来的整数格点$(x,y)$对应新坐标系里的整数点$(x',y')$，但这些点必须满足$x' \equiv -p \mod q$，$y' \equiv -r \mod q$（也就是属于一个固定的剩余类，不是所有整数点）。

原来的圆方程会变成$x'^2 + y'^2 = q^2r2$，现在问题就转化为：找属于这个固定剩余类的整数点$(x',y')$，满足它们的平方和等于某个数$Q=q^2r2$。而关键在于，这个固定剩余类里的点，能满足平方和等于$Q$的数量是有上限的——因为平方和表示数的增长依赖于$Q$的素因子，但我们的解被限制在一个特定的剩余类里，不可能找到$Q$使得这个类里的解数量任意大。所以不管$r$怎么选，对应的格点数量都不会超过某个固定的$N$。

总结一下：有理圆心的圆，要么能突破任何格点数量的上限，要么永远被一个固定的数量上限卡住，没有中间状态。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者vapor