求满足n-6非偶数且非3的倍数的6位完美平方立方数n

嘿，我来帮你把这个问题拆解清楚，结合你的分析给出完整解答：

问题回顾 #

设n为一个6位正整数，且n既是完全平方数又是完全立方数。若n-6既不是偶数也不是3的倍数，求n的值。

你的分析补充 #

你通过前10个平方数和立方数得出的末位结论很有方向，我再帮你补全细节：

• n的末位数字确实只能是{1,5,9}：因为一个数的平方和立方的末位必须一致，平方末位可能的情况是0,1,4,5,6,9，立方末位可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，两者交集是{0,1,5,9}，但n是6位数且n-6不是偶数，末位0的话n是偶数，n-6也是偶数，不符合条件，所以排除0，剩下{1,5,9}。
• 末位为9时：n是6次方数，所以n=k⁶，k末位是3或7时，3⁶=(3²)³=9³末位为9，7⁶=(7²)³=49³末位也为9，这点你之前的分析可以再细化下~
• 末位为5时：k末位是5，5⁶末位肯定是5，此时n是奇数，n-6是奇数满足“不是偶数”，但我们后面结合范围分析会更直接。
• 末位为1时：k末位是1或9，1⁶和9⁶末位都是1，n是奇数，n-6是奇数，满足“不是偶数”的条件。

核心解题思路 #

首先，n既是完全平方数又是完全立方数，说明n是完全6次方数（因为平方数是a²，立方数是b³，两者的最小公倍数是6，所以n=k⁶，k为正整数）。

先确定k的取值范围：6位数的范围是100000 ≤ k⁶ ≤ 999999，计算得：

• 6⁶=46656（5位数，排除）
• 7⁶=117649（6位数）
• 8⁶=262144（6位数）
• 9⁶=531441（6位数）
• 10⁶=1000000（7位数，排除）
  所以k只能是7、8、9。

接下来验证条件n-6既不是偶数也不是3的倍数：

1. n-6不是偶数：意味着n必须是奇数（偶数-6是偶数，奇数-6是奇数），所以k必须是奇数，排除k=8（8是偶数，8⁶=262144是偶数），剩下k=7和k=9。
2. n-6不是3的倍数：即n不能被3整除（因为6是3的倍数，n-6除以3的余数等于n除以3的余数）。
   • k=7：7除以3余1，1⁶=1，所以n=7⁶=117649除以3余1，不能被3整除，满足条件。此时n-6=117643，是奇数，且117643÷3≈39214.333，确实不能被3整除。
   • k=9：9是3的倍数，9⁶肯定是3的倍数，所以n=531441能被3整除，n-6=531435也能被3整除（5+3+1+4+3+5=21，21是3的倍数），不符合条件。

最终结论 #

满足所有条件的n是117649。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Trobeli