有质量实标量自由场产生算符生成的波函数相关问题

我来一步步拆解你的问题：

1. 产生算符$\hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}}$生成的波函数是什么？ #

在实标量自由场的量子化框架里，产生算符$\hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}}$的核心作用就是从真空态$|0\rangle$“创造”出一个动量为$\mathbf{k}$的单粒子态，也就是$|\mathbf{k}\rangle = \hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}}|0\rangle$。要得到这个态对应的坐标表象波函数，我们可以用场算符$\hat{\phi}(\mathbf{x},t)$来定义：坐标表象下的波函数就是真空态、场算符和单粒子态的矩阵元$\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x},t) = \langle 0 | \hat{\phi}(\mathbf{x},t) | \mathbf{k} \rangle$。

把题目里给出的场算符表达式代入这个矩阵元：
$$
\langle 0 | \hat{\phi}(\mathbf{x}, t) | \mathbf{k} \rangle = \int \frac{d^{3\mathbf{k}'}{(2\pi)}3\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}'}}} \left[ \langle 0 | \hat{a}{\mathbf{k}'} | \mathbf{k} \rangle e^{i(\omega{\mathbf{k}'}t - \mathbf{k}' \cdot \mathbf{x})} + \langle 0 | \hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}'} | \mathbf{k} \rangle e^{-i(\omega_{\mathbf{k}'}t + \mathbf{k}' \cdot \mathbf{x})} \right]
$$
利用产生/湮灭算符的基本对易关系：$\langle 0 | \hat{a}{\mathbf{k}'} | \mathbf{k} \rangle = (2\pi)^3 \delta^{(3)}(\mathbf{k}' - \mathbf{k})$（因为$\hat{a}{\mathbf{k}'}$作用在$|\mathbf{k}\rangle$上相当于把它湮灭回真空，只有当$\mathbf{k}'=\mathbf{k}$时才有非零结果），而$\langle 0 | \hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}'} | \mathbf{k} \rangle = 0$（$\hat{a}^\dagger_{\mathbf{k}'}$作用在真空上得到的是$|\mathbf{k}'\rangle$，和$|\mathbf{k}\rangle$的内积只有当$\mathbf{k}'=\mathbf{k}$时非零，但此时左边是真空和$|\mathbf{k}\rangle$的内积，显然为0）。

积分后就能得到最终的波函数：
$$
\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{x}, t) = \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}}} e^{i(\omega_{\mathbf{k}}t - \mathbf{k} \cdot \mathbf{x})}
$$

2. 这个波函数是不是动量波函数？ #

答案是是的，但要注意它是相对论性归一化的动量本征波函数。

在非相对论量子力学里，动量本征态的坐标表象波函数是平面波$\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - Et)}$，而这里的波函数形式类似，但归一化因子是$\frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{k}}}}$——这是因为场论里的单粒子态采用了洛伦兹协变的归一化：$\langle \mathbf{k} | \mathbf{k}' \rangle = (2\pi)^3 2\omega_{\mathbf{k}} \delta^{(3)}(\mathbf{k} - \mathbf{k}')$，对应的坐标表象波函数就会带有这个和能量相关的归一化因子，目的是保证在洛伦兹变换下波函数的变换性质满足协变性。

从物理意义上来说，这个波函数对应的态$|\mathbf{k}\rangle$确实是动量算符$\hat{\mathbf{P}}$的本征态，满足$\hat{\mathbf{P}} | \mathbf{k} \rangle = \mathbf{k} | \mathbf{k} \rangle$，所以完全可以称它为动量波函数，只是要区分开非相对论下的版本。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Si Chen