如何解析求解电动力学中常见的收敛反常积分？

嘿，这个积分在电动力学里真的很常见，比如处理无限长直线电荷的镜像法问题时经常会碰到。既然两个单独积分都发散，但整体收敛，我们可以通过正则化的方式来处理，下面是具体的解析步骤：

1. 变量替换简化形式 #

先做个变量替换，令 $u = x' - x$，这样积分上下限还是 $(-\infty, \infty)$，原积分就变成：
$$
\int_{-\infty}^{{\infty}\left[\frac{1}{\sqrt{u}2+(y-a)^2+z2}}-\frac{1}{\sqrt{(u+x)^2+a2}}\right]du
$$
这样变形后，我们不用单独计算两个发散的积分，而是把它们放在一起处理发散项。

2. 引入截断参数做正则化 #

我们先引入一个很大的截断参数 $R$，计算从 $-R$ 到 $R$ 的有限积分，之后再取 $R \to \infty$ 的极限。为了书写方便，令 $b^2 = (y-a)^2 + z^2$，那么有限积分可以写成：
$$
I(R) = \int_{-R}^{{R}\left[\frac{1}{\sqrt{u}2+b^{2}}-\frac{1}{\sqrt{(u+x)}2+a^2}}\right]du
$$

3. 利用已知积分公式计算有限区间积分 #

我们知道积分公式：$\int \frac{du}{\sqrt{u^2+c2}} = \ln\left(u + \sqrt{u^2+c2}\right) + C$，把这个公式代入两个部分的积分：

第一部分积分结果：
$$
\int_{-R}^{{R}\frac{du}{\sqrt{u}2+b^2}} = \ln\left(R + \sqrt{R^2+b2}\right) - \ln\left(-R + \sqrt{R^2+b2}\right)
$$

第二部分积分结果：
$$
\int_{-R}^{{R}\frac{du}{\sqrt{(u+x)}2+a^2}} = \ln\left((R+x) + \sqrt{(R+x)^2+a2}\right) - \ln\left((-R+x) + \sqrt{(-R+x)^2+a2}\right)
$$

4. 合并项并取极限消去发散项 #

接下来我们对大 $R$ 做近似展开，因为当 $R \to \infty$ 时，$\sqrt{R^2+c2} \approx R + \frac{c^2}{2R}$，所以：

对于第一部分的对数项：
$$
\ln\left(R + \sqrt{R^2+b2}\right) \approx \ln\left(2R\right)
$$
$$
\ln\left(-R + \sqrt{R^2+b2}\right) = \ln\left(\frac{b^2}{R + \sqrt{R^2+b2}}\right) \approx \ln\left(\frac{b^2}{2R}\right) = \ln(b^2) - \ln(2R)
$$
所以第一部分积分近似为：
$$
\ln(2R) - (\ln(b^2) - \ln(2R)) = 2\ln(2R) - \ln(b^2)
$$

用同样的方法处理第二部分：
$$
\ln\left((R+x) + \sqrt{(R+x)^2+a2}\right) \approx \ln(2(R+x))
$$
$$
\ln\left((-R+x) + \sqrt{(-R+x)^2+a2}\right) \approx \ln\left(\frac{a^2}{2(R-x)}\right) = \ln(a^2) - \ln(2(R-x))
$$
第二部分积分近似为：
$$
\ln(2(R+x)) - (\ln(a^2) - \ln(2(R-x))) = \ln(4(R^2-x2)) - \ln(a^2)
$$

现在把两部分相减得到 $I(R)$，然后展开化简：
$$
I(R) \approx [2\ln(2R) - \ln(b^2)] - [\ln(4(R^2-x2)) - \ln(a^2)]
$$
注意到当 $R \to \infty$ 时，$\ln(R^2-x2) \approx 2\ln R$，$\ln4=2\ln2$，代入后会发现发散的 $\ln R$ 项完全抵消，剩下的有限项就是：
$$
I = \lim_{R \to \infty}I(R) = \ln\left(\frac{a^2}{b2}\right)
$$

5. 还原原变量得到最终结果 #

把 $b^2 = (y-a)^2 + z^2$ 代回去，最终的积分结果就是：
$$
\int_{-\infty}^{{\infty}\left[\frac{1}{\sqrt{(x-x')}2+(y-a)^2+z2}}-\frac{1}{\sqrt{x'^2+a2}}\right]dx' = 2\ln\left( \frac{a}{\sqrt{(y-a)^2 + z^2}} \right)
$$

从物理角度看，这个积分其实对应无限长直线电荷和它的镜像电荷在空间某点产生的电势差，正则化的过程就是抵消了无限长电荷本身的发散电势，留下了有限的差值。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Ptheguy