满足$F\left(\int^x_0 F(s)\ ds\right)=x$的连续函数是否存在？解是否唯一？

嘿，这个咖啡闲聊时蹦出来的问题真的很有意思！咱们来好好捋一捋：

你和同事找到的幂函数解是完全正确的。具体来说，设$F(x) = Cx^\gamma$，其中$\gamma = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$（这个值是方程$\gamma(\gamma+1)=1$的正根，和黄金分割比密切相关），再通过代入积分方程可以求出对应的系数$C$：
将$F(x)$代入左边的表达式：
$$
F\left(\int_0^x F(s)\ ds\right) = F\left(C\cdot\frac{x^{\gamma+1}}{\gamma+1}\right) = C\cdot\left(\frac{C}{\gamma+1}x^{{\gamma+1}\right)}\gamma
$$
要让这个结果等于$x$，需要满足两个条件：

• 指数部分：$\gamma(\gamma+1) = 1$，解这个二次方程就得到$\gamma = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$（舍去负根，因为要保证积分和函数的连续性在非负区间有意义）
• 系数部分：$C^{1+\gamma} \cdot (\gamma+1)^{-\gamma} = 1$，结合$\gamma+1 = \frac{1}{\gamma}$，可以算出$C = (\gamma+1)^{\frac{\gamma}{1+\gamma}} = (\gamma+1)^{\gamma2}$，这个系数是一个确定的正实数。

所以这个幂函数形式的连续函数确实满足给定的积分方程。

你提到的等价条件非常关键：这个积分方程其实等价于函数的原函数等于它的反函数。
咱们令$G(x) = \int_0^x F(s)\ ds$，那么原方程是$F(G(x)) = x$——这说明$G$是$F$的反函数（因为$F$和$G$复合后得到恒等函数）。同时，根据微积分基本定理，$G'(x) = F(x)$，也就是$G$是$F$的一个原函数。把这两点结合起来，就得到了“$F$的原函数是它的反函数”这个等价描述，这个视角能帮我们更好地理解问题的本质。

你和同事遇到的困惑很正常——仅在“连续函数”这个条件下，我们还没法证明解是唯一的。
如果给$F$加上额外的限制条件，比如单调可导，那我们可以通过推导证明幂函数解是唯一的：假设$F$单调可导，结合原函数等于反函数的条件，对$F(G(x))=x$两边求导，再代入$G'(x)=F(x)$和$G=F^{-1}$，就能得到一个微分方程，解这个微分方程只能得到幂函数形式的解。
但如果只要求$F$是连续函数，目前并没有严格的证明说不存在其他形式的解。理论上可能存在分段构造的连续函数满足条件，但目前还没有找到明确的例子，也无法排除这种可能性。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jacky Chong