技术问询：求证满足特定整数方程的a,b,c,d∈ℤ中至少一个为0

嘿，你已经走对关键路径了！你推导出的那两个式子其实是破题的核心，咱们接着往下挖就行～

你已经通过对原式的线性组合得到了：
$$a(c^2+3d2)=5c+6d$$
$$b(c^2+3d2)=2c-5d$$
这一步完全正确，接下来我们就从这两个式子展开分析。

首先设 $k = c^2 + 3d^2$，因为 $c,d$ 是整数，且代入原方程可知 $c,d$ 不能同时为0（否则第一个方程左边为0≠5），所以 $k$ 是正整数。

步骤1：利用整除性推导核心关系 #

因为 $k$ 整除 $5c+6d$ 和 $2c-5d$，那么 $k$ 必然整除这两个数的任意整数线性组合。我们构造两个关键组合：

• 计算 $5\times(5c+6d) + 6\times(2c-5d) = 25c+30d+12c-30d = 37c$，因此 $k \mid 37c$
• 计算 $5\times(2c-5d) - 2\times(5c+6d) = 10c-25d-10c-12d = -37d$，因此 $k \mid 37d$

由于37是质数，我们分两种情况讨论：

情况1：37不整除$k$ #

此时 $k$ 必须整除 $\gcd(c,d)$。设 $\gcd(c,d)=m$，令 $c=mt$，$d=ms$（其中 $\gcd(t,s)=1$），代入 $k$ 得：
$$k = m^2(t2 + 3s^2)$$
因为 $k \mid m$，所以 $m^2(t2+3s^2) \leq m$，即 $m(t^2+3s2) \leq 1$。
由于 $m$ 是正整数，且 $t^2+3s2 \geq 1$（$t,s$ 不同时为0），只能有 $m=1$ 且 $t^2+3s2=1$。
解这个方程的整数解：只有 $t=\pm1, s=0$（因为 $s≠0$ 时 $3s^2≥3>1$），此时 $d=ms=0$，即 $d$ 为0，满足“至少一个数为0”的结论。

情况2：37整除$k$ #

即 $c^2 + 3d^2 \equiv 0 \pmod{37}$，变形得 $c^2 \equiv -3d^2 \pmod{37}$。
如果 $d \equiv 0 \pmod{37}$，则 $c \equiv 0 \pmod{37}$，代入原方程 $ca-3bd=5$，左边是37的倍数，右边是5，矛盾，因此 $d \not\equiv 0 \pmod{37}$。
两边除以 $d^2$ 得 $(c/d)^2 \equiv -3 \pmod{37}$，通过二次互反律可验证 $-3$ 是37的二次剩余（这里不用纠结细节，知道存在这样的 $c,d$ 即可）。

此时设 $k=37m$（$m$ 为正整数），代入你之前得到的两个式子：
$$a \times 37m = 5c+6d$$
$$b \times 37m = 2c-5d$$

我们对这两个式子做平方组合：
$$(5c+6d)^2 + 3\times(2c-5d)^2 = (a\times37m)^2 + 3\times(b\times37m)^2$$

左边展开计算：
$$25c^2+60cd+36d2 + 3(4c^2-20cd+25d2) = 37c^2 + 111d^2 = 37(c^2+3d2) = 37\times37m = 37^2m$$

右边展开计算：
$$37^2m2(a^2 + 3b^2)$$

等式两边约去 $37^2$ 得：
$$m(a^2 + 3b^2) = 1$$

同样，$m$ 是正整数，$a^2+3b2≥1$，所以只能 $m=1$ 且 $a^2+3b2=1$。
解这个方程的整数解：只有 $a=\pm1, b=0$（$b≠0$ 时 $3b^2≥3>1$），即 $b$ 为0，满足结论。

最终结论 #

两种情况都证明了原方程的整数解中至少有一个数为0，问题解决！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者razvanelda