已知厄米算符满足对易式[A,B]=A，可对算符B得出哪些结论？

嘿，咱们来一步步拆解这个问题——首先明确前提：$A$和$B$都是厄米算符，满足对易关系$[A,B] = AB - BA = A$。下面是关于$B$的核心结论：

• 如果$A$不是零算符，那么不存在这样的厄米算符$B$
  原因很关键：厄米算符的对易子是反厄米算符——咱们可以验证一下：
  $$[A,B]^\dagger = (AB - BA)^\dagger = B^\dagger A^\dagger - A^\dagger B^\dagger = BA - AB = -[A,B]$$
  而题目里要求$[A,B] = A$，$A$本身是厄米算符（$A^\dagger = A$）。这就意味着一个反厄米算符等于一个厄米算符，只有当这个算符是零算符时才能成立：
  $$A = [A,B] = -[A,B]^\dagger = -A^\dagger = -A$$
  整理得$2A = 0$，在复希尔伯特空间中（量子力学常用的空间），系数2不等于0，所以必然有$A=0$。如果$A≠0$，根本找不到满足条件的厄米$B$。

• 如果$A$是零算符，$B$可以是任意厄米算符
  当$A=0$时，对易式$[0,B] = 0 - 0 = 0 = A$自动成立，没有任何额外约束——任何厄米算符$B$都满足条件。

额外补充：不考虑厄米性时的结论 #

如果暂时抛开$B$的厄米性，只看对易关系$[A,B]=A$，我们能得到一些有趣的性质：

• 改写对易式可得$AB = (B + I)A$（其中$I$是单位算符），这说明$A$与$B + I$的“乘积顺序”可以交换一部分——或者说，$A$是算符$B$的一个“移位伴随算符”。
• 假设$|ψ⟩$是$A$的非零本征态（本征值$λ≠0$），那么$B|ψ⟩$会满足$A(B|ψ⟩) = λ(B|ψ⟩ + |ψ⟩)$，这意味着$B$会把$A$的本征态映射到$A$的一个“本征态加原态”的组合上。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Gbp