证明验证：连续函数在稠密子集上相等则全空间相等（无豪斯多夫空间定义）

你尝试的证明只覆盖了S是闭集的特殊情形，这显然是不完整的——毕竟稠密子集不一定是闭集（比如有理数集ℚ在实数集ℝ中稠密，但ℚ不是闭集），所以这个证明没法推广到所有稠密子集的情况。

另外需要明确的是：这个结论本质上依赖于Y是豪斯多夫空间（哪怕课堂还没正式定义这个概念），如果Y不是豪斯多夫空间，结论是不成立的，比如：

• 取Y是带有平凡拓扑的集合（只有空集和Y本身是开集），且Y至少有两个元素；
• 令X=Y，S是Y中的一个单点集（在平凡拓扑下，S的闭包是Y，所以S是稠密子集）；
• 设f是X到Y的恒等映射，g是X到Y的常值映射，把所有点都映到S中的那个元素；
• 显然f和g在S上相等，但f≠g，这就构成了反例。

如果我们默认Y是豪斯多夫空间（即任意两个不同的点都有不相交的开邻域），可以给出如下严谨证明：

证明过程 #

已知：

• $f, g: X \to Y$是连续映射；
• $S \subseteq X$是稠密子集，即$\text{cl}(S) = X$；
• 对任意$s \in S$，$f(s) = g(s)$。

要证：对任意$x \in X$，$f(x) = g(x)$。

1. 反证法假设：存在$x_0 \in X$，使得$f(x_0) \neq g(x_0)$。
2. 利用豪斯多夫性质：因为Y是豪斯多夫空间，所以存在$f(x_0)$的开邻域$V_1$和$g(x_0)$的开邻域$V_2$，满足$V_1 \cap V_2 = \emptyset$。
3. 连续映射的邻域性质：由于f和g连续，$U_1 = f^{-1}(V_1)$是$x_0$的开邻域，$U_2 = g^{-1}(V_2)$也是$x_0$的开邻域。令$U = U_1 \cap U_2$，则U是$x_0$的开邻域。
4. 稠密子集的性质：因为$\text{cl}(S) = X$，所以U与S相交，即存在$s_0 \in U \cap S$。
5. 导出矛盾：
   • 因为$s_0 \in U_1$，所以$f(s_0) \in V_1$；
   • 因为$s_0 \in U_2$，所以$g(s_0) \in V_2$；
   • 但根据已知条件，$f(s_0) = g(s_0)$，这就意味着存在一个点同时属于$V_1$和$V_2$，与$V_1 \cap V_2 = \emptyset$矛盾。

因此假设不成立，即对所有$x \in X$，$f(x) = g(x)$。

如果一定要避开豪斯多夫空间的定义，其实可以把“Y中任意两个不同点有不相交开邻域”作为证明中的一个隐含条件直接使用，因为没有这个条件结论不成立。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者jpugliese