关于光滑映射f:M→S²的像形态及高维M下像含圆的可行性问询

嘿，这个问题挺有意思的，我来梳理一下相关的研究结论和信息获取方向：

非恒定意味着映射不会把整个$M$映射到$S^2$上的单点，它的像的形态其实相当多样，主要可以从拓扑和光滑奇点两个角度来看：

• 低维$M$的典型情况：
  • 当$M$是1维流形（比如曲线），像就是$S^2$上的光滑曲线——可以是简单闭圆，也可以是自交的闭曲线，甚至是无界的开曲线（比如从南极延伸到北极的螺旋线）。
  • 当$M$是2维流形，像可以是$S^{2$上的光滑嵌入曲面片（比如一个圆盘），也可以是覆盖整个$S}2$的满射（比如从$S^2$到自身的恒等映射），还可能是带有奇点的曲面（比如有自交点的映射像）。
• 高维$M$的拓展情况：
  • 即使$M$维度很高，像依然可以是$S^{2$上的低维子集：比如把高维$M$投影到1维的$\mathbb{R}$，再把$\mathbb{R}$映射到$S}2$上的一条曲线，这时候像就是一条光滑曲线；也可以构造像为$S^{2$上的稠密曲线（比如无理参数化的曲线），此时像的闭包是整个$S}2$，但像本身只是1维的。
  • 如果映射的拓扑度非零（当$M$是闭定向$n$维流形，$n\geq2$时可定义），那映射一定是满射，像就是整个$S^2$。
• 核心参考方向：可以去看光滑映射的奇点理论（比如Thom的奇点分类），这类理论会分析从$n$维流形到2维流形的映射奇点类型，而像的形态和奇点结构直接相关；另外拓扑上的同伦类、度数理论也能帮你判断像的覆盖范围。

单纯只靠“$M$维度足够大”+“非恒定光滑映射”，不能保证像一定包含圆，这里有几个关键的点：

• 反例构造：比如取$M$为$\mathbb{R}^{k$（$k\geq3$），构造映射$f:\mathbb{R}}k\to S^{2$：先把$\mathbb{R}}k$投影到$\mathbb{R}$，再把$\mathbb{R}$映射到$S^2$上的一条开曲线（比如从南极到北极的非闭螺旋线），这时候像就是这条开曲线，完全不包含任何圆。
• 附加条件下的结论：如果给映射加上一些限制，就能保证像包含圆：
  • 若映射是满射：像就是整个$S^2$，自然包含无数个圆。
  • 若映射是同伦非平凡的（即不和常值映射同伦）：当$M$维度$\geq3$时，同伦非平凡的映射到$S^{2$，其像的闭包一定是整个$S}2$（因为如果像的闭包是真子集，那映射可以同伦到常值），所以必然包含圆。
  • 若映射的拓扑度非零：如前所述，此时映射是满射，像包含圆。
• 核心参考方向：同伦论中的Hopf定理（关于映射到$S^n$的同伦类）、拓扑度理论，这些内容能帮你理解映射的同伦性质和像的拓扑结构之间的关联。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者J. Salieri