由矩阵与其转置的乘积求解原矩阵：唯一性问题探讨

先理清楚问题的基本情况：你提到$A$有9个独立元素，$B$和$C$作为对称矩阵各有6个独立约束，所以这是一个9变量、12方程的超定非线性方程组。但超定≠解唯一，甚至不一定有解，咱们分两部分拆解：

一、先看方程组有没有解（存在性） #

要让这样的$A$存在，$B$和$C$必须满足两个核心条件：

• 首先，$B$和$C$都得是半正定矩阵。因为$AA^T$和$ATA$本质是Gram矩阵，它们的特征值全是非负的，所以$B$、$C$必须符合这个性质；
• 其次，$B$和$C$的非零特征值（包括重数）必须完全相同。这是矩阵论里的经典结论：对任意矩阵$A$，$AA^T$和$ATA$的非零特征值是完全一致的（重数也一样）。如果$B$和$C$连这一点都不满足，那方程组直接无解。

二、再看解是否唯一 #

假设已经满足存在性条件，那$A$的解绝对不是唯一的，理由如下：
咱们用**奇异值分解（SVD）**来分析：任何矩阵$A$都可以分解为$A=U\Sigma V^{T$，其中$U$、$V$是3×3正交矩阵（满足$U}TU=UU^T=I$，$VTV=VV^T=I$），$\Sigma$是对角矩阵，对角元是$A$的奇异值（也就是$B$、$C$非零特征值的平方根）。

代入条件可得：

• $AA^T = U\Sigma^2UT = B$，说明$U$是$B$的正交相似对角化矩阵；
• $A^TA = V\Sigma^2VT = C$，说明$V$是$C$的正交相似对角化矩阵。

这时候，$U$和$V$的选择往往不唯一：

1. 如果$B$（或$C$）有重特征值，对应的特征子空间是多维的，$U$（或$V$）中对应重特征值的列可以是该子空间内任意一组标准正交基，这样$U$（或$V$）就有无穷多种取法，进而$A=U\Sigma V^T$也有无穷多个不同的解；
2. 就算$B$和$C$的所有非零特征值都是单重的，$U$和$V$的每一列都可以取正负（因为正交矩阵的列向量取正负后还是正交基），这时候解的数量是$2^k$个（$k$是非零特征值的个数），比如3个非零特征值的话就有8个解，依然不唯一。

举个简单的实例：
设$\Sigma=\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&0\end{pmatrix}$，$C=\begin{pmatrix}0.5&0.5&0\0.5&0.5&0\0&0&0\end{pmatrix}$（两者非零特征值都是1,1,0，满足存在性）。$U$的前两列可以是任意二维标准正交向量（比如$(1,0,0)$和$(0,1,0)$，或者$(cosθ,sinθ,0)$和$(-sinθ,cosθ,0)$），$V$的前两列是$C$的特征向量$(1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0)$和$(-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2},0)$，这样组合出来的$A$有无穷多个，都满足$AA^T=B$和$ATA=C$。

结论 #

• 存在解的前提：$B$、$C$都是半正定矩阵，且非零特征值（含重数）完全相同；
• 解不可能唯一：要么有无穷多个解（当有重特征值时），要么有有限个解（特征值全单重时），绝对不存在唯一解的情况。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者textureguy