从逐点收敛到L¹与几乎处处收敛：随机变量序列和的收敛性证明问询

咱们先从几乎处处收敛的证明说起：

首先回忆几乎处处收敛的定义：存在一个零测集$N \subseteq \Omega$，使得对所有$\omega \notin N$，都有$\lim_{n \to \infty}X_n(\omega) = X(\omega)$，同时$\lim_{n \to \infty}Y_n(\omega) = Y(\omega)$。

对于这类不在零测集里的$\omega$，我们可以用三角不等式来估计$X_n+Y_n$与$X+Y$的差值：
$$|X_n(\omega)+Y_n(\omega)-X(\omega)-Y(\omega)| \leq |X_n(\omega)-X(\omega)| + |Y_n(\omega)-Y(\omega)|$$

根据几乎处处收敛的定义，当$n \to \infty$时，右边的两项$|X_n(\omega)-X(\omega)|$和$|Y_n(\omega)-Y(\omega)|$都会趋近于0。既然两个趋于0的数相加还是趋于0，那左边的绝对值的极限自然也是0。

这就意味着，对所有$\omega \notin N$，$\lim_{n \to \infty}(X_n(\omega)+Y_n(\omega)) = X(\omega)+Y(\omega)$——换句话说，$X_n+Y_n$几乎处处收敛到$X+Y$。

接下来聊聊**$L^1$收敛**的情况，这里要先划个重点：

仅仅已知$X_n$和$Y_n$几乎处处收敛到$X$和$Y$，是没办法直接推出$X_n+Y_n$在$L^1$意义下收敛的。比如取$\Omega=(0,1)$（Lebesgue测度），令$X_n = nI_{(0,1/n)}$，它几乎处处收敛到0，但$\mathbb{E}[|X_n|] = 1$，完全不满足$L^{1$收敛；如果$Y_n=X_n$，那$X_n+Y_n=2nI_{(0,1/n)}$，同样几乎处处收敛到0，但$\mathbb{E}[|X_n+Y_n|]=2$，也不$L}1$收敛。

所以要证明$X_n+Y_n$在$L^1$意义下收敛到$X+Y$，我们需要额外的前提：$X_n \to X$和$Y_n \to Y$本身就是**$L^1$收敛**的（也就是$\lim_{n \to \infty}\mathbb{E}[|X_n-X|] = 0$，$\lim_{n \to \infty}\mathbb{E}[|Y_n-Y|] = 0$）。

在这个前提下，我们用期望的三角不等式来推导：
$$\mathbb{E}[|X_n+Y_n - (X+Y)|] \leq \mathbb{E}[|X_n - X| + |Y_n - Y|] = \mathbb{E}[|X_n - X|] + \mathbb{E}[|Y_n - Y|]$$

因为$X_n$和$Y_n$都是$L^1$收敛的，当$n \to \infty$时，右边的两项都会趋近于0，所以左边的期望也必然趋近于0。这就证明了$X_n+Y_n$在$L^1$意义下收敛到$X+Y$。

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