如何证明非奇异矩阵可表示为初等矩阵的乘积？

嘿，咱们把这个证明拆解清楚，你提到的从求逆行变换出发的思路完全靠谱，咱们把它转化成严谨的数学推导就行～

已知与待证 #

已知命题：若$A$为非奇异矩阵，则$A=E_n\cdots E_2E_1$，其中每个$E_i$都是初等矩阵。
待证结论：若$A$是非奇异矩阵，则存在初等矩阵$E_1,E_2,\dots,E_k$，使得$$A=E_k\cdots E_2E_1I=E_k\cdots E_2E_1$$

严谨推导过程 #

咱们从两个核心的线性代数结论入手：

1. 初等行变换与初等矩阵的对应：对任意矩阵$M$执行一次初等行变换，等价于用对应的初等矩阵左乘$M$；反过来，用初等矩阵左乘$M$，就是对$M$做一次对应的初等行变换。
2. 非奇异矩阵的行变换性质：可逆（非奇异）矩阵可以通过有限次初等行变换化为单位矩阵$I$。

基于这两点，咱们一步步推：

• 因为$A$是非奇异矩阵，所以存在有限个初等矩阵$F_1,F_2,\dots,F_k$，使得对$A$依次做这些初等矩阵对应的行变换后，得到单位矩阵$I$，用矩阵乘法表示就是：
  $$F_kF_{k-1}\cdots F_1A = I$$
• 接下来，我们对等式两边同时左乘$F_1^{-1},F_2{-1},\dots,F_k^{-1}$（注意：初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵也是初等矩阵——这是关键细节，因为初等变换的逆变换还是初等变换，对应的矩阵就是原初等矩阵的逆）。
• 计算后得到：
  $$A = F_1^{-1}F_2{-1}\cdots F_k^{-1}I$$
• 现在，令$E_1=F_k^{-1}, E_2=F_{k-1}^{{-1},\dots,E_k=F_1}{-1}$（只是调整了下标顺序，方便匹配待证的形式），显然每个$E_i$都是初等矩阵，代入上式就有：
  $$A = E_kE_{k-1}\cdots E_1I = E_kE_{k-1}\cdots E_1$$

这样就完成了严谨的证明，核心就是把行变换的过程转化为矩阵乘法，再利用初等矩阵的可逆性来变形。

对你思路的补充 #

你提到从$A=IA$求$A^{-1}$的行变换过程来理解，这个直觉非常准确！咱们把这个过程和证明对应起来：
当我们构造增广矩阵$[A|I]$并做行变换时，本质是用一系列初等矩阵左乘这个增广矩阵，把左边的$A$变成$I$，此时右边的$I$就变成了$A^{-1}$，也就是：
$$F_k\cdots F_1[A|I] = [I|F_k\cdots F_1]$$
所以$F_k\cdots F_1 = A^{-1}$，两边取逆就得到$A = (F_k\cdots F_1)^{-1} = F_1^{-1}\cdots F_k^{-1}$，这和咱们上面的证明完全一致——你的思路已经抓住了本质，只是把这个过程用矩阵乘法的形式严谨表述出来就完成证明啦～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者SOORAJ SOMAN