技术问询：非零整数q对应的级数S是否为有理数

咱们来一步步拆解这个问题，结合e是无理数的反证法背景来分析：

首先明确级数S的定义：
$$S = \frac{1}{q+1}+\frac{1}{(q+2)(q+1)}+\frac{1}{(q+3)(q+2)(q+1)}+\dots$$
其中q为非零整数，且已知$0<S<1$。

关联e的泰勒级数展开 #

我们知道自然常数e的泰勒级数展开式为：
$$e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{q!} + \sum_{n=q+1}^{\infty}\frac{1}{n!}$$

把后面的无穷项$\sum_{n=q+1}^{\infty}\frac{1}{n!}$和S挂钩：
对于$n \geq q+1$，$n! = q! \times (q+1)(q+2)\dots n$，因此$\frac{1}{n!} = \frac{1}{q!} \times \frac{1}{(q+1)(q+2)\dots n}$。代入后可以得到：
$$\sum_{n=q+1}^{\infty}\frac{1}{n!} = \frac{1}{q!} \left( \frac{1}{q+1} + \frac{1}{(q+1)(q+2)} + \frac{1}{(q+1)(q+2)(q+3)} + \dots \right) = \frac{S}{q!}$$

反证法假设下的矛盾推导 #

在e是无理数的经典反证法中，我们先假设e是有理数，即$e = \frac{p}{q}$（p、q为互质整数，q≠0）。将这个假设代入上面的等式：
$$\frac{p}{q} = \sum_{n=0}^{q}\frac{1}{n!} + \frac{S}{q!}$$

两边同时乘以$q!$整理：
$$(q-1)!p = q! \sum_{n=0}^{q}\frac{1}{n!} + S$$

这里左边的$(q-1)!p$是整数，右边的$q! \sum_{n=0}^{q}\frac{1}{n!}$也是整数——因为对每个$n \leq q$，$q!/n!$都是整数，求和后自然还是整数。移项后可得：
$$S = (q-1)!p - q! \sum_{n=0}^{q}\frac{1}{n!}$$
这意味着S是整数，但题目明确给出$0<S<1$，而不存在介于0和1之间的整数，这就产生了矛盾。所以最初假设e是有理数不成立，e是无理数。

最终结论：S是无理数 #

既然e是无理数，我们回到$S = q! \left( e - \sum_{n=0}^{q}\frac{1}{n!} \right)$这个式子：

• $\sum_{n=0}^{q}\frac{1}{n!}$是有理数（有限个有理数的和必然是有理数）
• e是无理数，因此$e - \sum_{n=0}^{q}\frac{1}{n!}$是无理数（无理数减去有理数的结果仍是无理数）
• q!是非零整数，无理数乘以非零整数依然是无理数

综上，级数S是无理数。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Pinteco