满足T²=λT的实向量空间线性变换T的性质判定问题

给定实数域 ( \mathbb{R} ) 上n维向量空间 ( \mathbb{R}^n ) 的线性变换 ( T )，满足 ( T^2 = \lambda T )（( \lambda \in \mathbb{R} )），我们逐个分析四个命题的正确性：

命题1：对任意 ( x \in \mathbb{R}^n )，( |Tx| = |\lambda||x| ) #

不成立。

举个直观反例：取 ( \lambda = 1 )，在 ( \mathbb{R}^2 ) 中定义投影变换 ( T(x,y) = (x, 0) )，显然 ( T^2(x,y) = T(x,0) = (x,0) = 1 \cdot T(x,y) )，满足 ( T^2 = \lambda T )。但取 ( x = (0,1) )，( |Tx| = |(0,0)| = 0 )，而 ( |\lambda||x| = 1 \cdot 1 = 1 )，显然 ( 0 \neq 1 )，直接推翻该命题。

命题2：若存在非零向量 ( x \in \mathbb{R}^n ) 使得 ( |Tx| = |x| )，则 ( \lambda = \pm 1 ) #

不成立。

我们构造反例：取 ( \lambda = 2 )，在 ( \mathbb{R}^2 ) 中定义 ( T(x,y) = (2x, 0) )，易验证 ( T^2(x,y) = T(2x,0) = (4x,0) = 2 \cdot (2x,0) = 2T(x,y) )，满足 ( T^2 = \lambda T )。

现在取非零向量 ( x = \left( \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right) )，计算得：

• ( |x| = \sqrt{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}} = \sqrt{2} )
• ( Tx = \left( 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right) = (\sqrt{2}, 0) )，所以 ( |Tx| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 0^2} = \sqrt{2} )

这里 ( |Tx| = |x| )，但 ( \lambda = 2 \neq \pm 1 )，说明命题不成立。本质上，( T ) 的特征值只能是0或 ( \lambda )，当 ( x ) 是这两类特征向量的正交组合时，调整分量长度就能满足范数相等的条件，无需 ( \lambda = \pm1 )。

命题3：( T = \lambda I )（( I ) 为恒等变换） #

不成立。

还是用投影变换的例子：取 ( \lambda = 1 )，( \mathbb{R}^2 ) 中的 ( T(x,y) = (x,0) )，满足 ( T^2 = T = 1 \cdot T )，但显然 ( T \neq I )（比如 ( T(0,1) = (0,0) \neq (0,1) = I(0,1) )）。这类投影变换是满足 ( T^2 = \lambda T ) 但不等于 ( \lambda I ) 的典型例子。

命题4：若存在非零向量 ( x \in \mathbb{R}^n ) 使得 ( |Tx| > |x| )，则 ( T ) 必为奇异变换 #

不成立。

假设 ( T ) 可逆，那么从 ( T^2 = \lambda T ) 两边左乘 ( T^{-1} )，可得 ( T = \lambda I )。此时取 ( \lambda = 2 )，则 ( T = 2I )，显然 ( T ) 可逆（非奇异），且对任意非零 ( x )，( |Tx| = 2|x| > |x| )，完全满足命题的前提，但 ( T ) 不是奇异变换，直接推翻该命题。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Sam Christopher