联合概率计算求助：求解$P(A'∩B'∩C)$的计算疑问

嘿，我看到你在计算$P(A'∩B'∩C)$的时候遇到了问题，咱们一步步梳理，找出哪里出错了～

首先得指出你两个关键的错误点：

1. $P(A∩B∩C)$的计算公式用错了：你直接用$P(A)+P(B)+P(C) - P(A∪B∪C)$来算，这不符合容斥原理的正确公式；
2. $P(A'∩B'∩C)$的展开式写错了：你误把要减的$P(A∩C)$写成了$P(A∩B)$，混淆了集合的交集关系。

接下来咱们一步步做正确推导：

步骤1：先算全部门两两交集的概率 #

• 你计算$P(A∩B)$是对的：
  $P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B) = 0.4 + 0.55 - 0.63 = 0.32$ ✔️
• 你计算$P(B∩C)$也是对的：
  $P(B∩C) = P(B) + P(C) - P(B∪C) = 0.55 + 0.7 - 0.8 = 0.45$ ✔️
• 补充计算$P(A∩C)$（这是你之前漏掉的）：
  $P(A∩C) = P(A) + P(C) - P(A∪C) = 0.4 + 0.7 - 0.77 = 0.33$

步骤2：正确计算$P(A∩B∩C)$ #

根据三元容斥原理的完整公式：

$P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)$

变形后得到：
$P(A∩B∩C) = P(A∪B∪C) - P(A) - P(B) - P(C) + P(A∩B) + P(A∩C) + P(B∩C)$

代入数值计算：
$P(A∩B∩C) = 0.85 - 0.4 - 0.55 - 0.7 + 0.32 + 0.33 + 0.45 = 0.3$

步骤3：计算目标概率$P(A'∩B'∩C)$ #

正确的展开逻辑是：从事件C的概率里，减去C和A的交集、C和B的交集，但这样会多减一次同时属于A、B、C的部分，所以要加回来。公式是：
$P(A'∩B'∩C) = P(C) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)$

代入数值：
$0.7 - 0.33 - 0.45 + 0.3 = 0.22$

用德摩根定律验证结果 #

$A'∩B' = (A∪B)'$，所以$P(A'∩B'∩C) = P(C ∩ (A∪B)') = P(C) - P(C ∩ (A∪B))$
而$P(C ∩ (A∪B)) = P((A∩C) ∪ (B∩C)) = P(A∩C) + P(B∩C) - P(A∩B∩C) = 0.33 + 0.45 - 0.3 = 0.48$
因此$P(A'∩B'∩C) = 0.7 - 0.48 = 0.22$，和之前的结果完全一致～

内容的提问来源于stack exchange，提问作者w0f