求证卷积微分性质：d/dt y(t)=x(t)*[d/dt h(t)]及d/dt y(t)=[d/dx x(t)]*h(t)

嘿，我来帮你把这两个卷积的微分性质推导完整！先从你卡住的第一个开始拆解～

性质1：$\frac{d}{dt} y(t) = x(t) * \frac{d}{dt} h(t)$ #

首先回忆卷积的定义：

y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau

你已经推到了对t求导后的式子：

\frac{dy}{dt} = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \cdot \frac{d}{dt} h(t - \tau) d\tau

接下来关键一步是链式法则求导：对h(t - \tau)关于t求导时，令u = t - \tau，则$\frac{d}{dt} h(u) = h'(u) \cdot \frac{du}{dt} = h'(t - \tau) \cdot 1$（因为$\tau$是积分变量，对t来说是常数）。

把这个结果代入后，式子就变成：

\frac{dy}{dt} = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h'(t - \tau) d\tau

而根据卷积的定义，x(t) * h'(t)的表达式正好就是$\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h'(t - \tau) d\tau$，所以直接可得：

\frac{d}{dt} y(t) = x(t) * \frac{d}{dt} h(t)

注：这里要满足前提条件：$x(t)$绝对可积，$h(t)$可微且导数$h'(t)$也满足可积条件，这样积分号下求导的莱布尼茨法则才适用。

性质2：$\frac{d}{dt} y(t) = \left( \frac{d}{dt} x(t) \right) * h(t)$ #

这个性质有两种推导思路：

思路1：利用卷积交换律+性质1 #

因为卷积满足交换律：x(t) * h(t) = h(t) * x(t)，所以对t求导后：

\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} \left( h(t) * x(t) \right)

直接套用性质1的结论，把h(t)看作性质1中的x(t)，x(t)看作性质1中的h(t)，可得：

\frac{d}{dt} \left( h(t) * x(t) \right) = h(t) * \frac{d}{dt} x(t)

再用一次卷积交换律，就得到：

h(t) * x'(t) = x'(t) * h(t)

所以$\frac{d}{dt} y(t) = \left( \frac{d}{dt} x(t) \right) * h(t)$

思路2：直接积分求导 #

还是从卷积定义出发，做变量替换：令σ = t - τ，则τ = t - σ，$dτ = -dσ$。调整积分上下限（τ→-∞时σ→∞，τ→∞时σ→-∞），积分变为：

y(t) = \int_{\infty}^{-\infty} x(t - σ) h(σ) (-dσ) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t - σ) h(σ) dσ

对t求导，用莱布尼茨法则+链式法则：

\frac{dy}{dt} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d}{dt} x(t - σ) \cdot h(σ) dσ = \int_{-\infty}^{\infty} x'(t - σ) h(σ) dσ

这正好是x'(t) * h(t)的卷积定义，所以性质2得证。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者LaSzLo